[理学]1_2随机变量和分布函数.ppt

某人骑摩托车上街,出事故率为0.02，独立重复上街400次，求出事故至少两次的概率. 400次上街?400重Bernoulii实验 记X为出事故的次数，则 ≈1- e-8 - 8e-8 ≈0.9972 P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1) 结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总会发生的！ =1-0.98 400-400（0.02)(0.98 399) ≈0.9970 泊松定理 例 解 例 若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次， 则至少成功一次的概率为 成功次数服从二项概率 有百分之一的希望，就要做百分之百的努力 随机变量的分布函数 设X为一随机变量,则对任意实数x，(Xx)是一个随机事件，称 为随机变量X的分布函数 定义域为 （－∞，＋∞）； 值域为 ［０，１］。 F(x)是一个普通的函数！ Distribution Function 分布函数的定义 F(x)＝P {X?x}. 引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的函数值来表示。 分布函数表示事件的概率 P（X≤b）=F(b) P（aX ≤ b）=F(b) ﹣ F(a) P（Xb）=1﹣ P（X ≤ b）=1 - F(b) P（a X≤ b）=P(X ≤ b)-P(X ≤ a)= F(b)- F(a) 设随机变量X的分布函数为 求:(1) P{X≤2}; (2) P{0X≤3}; (3) P{X2}. 解： 解： (1) P{X≤2} P{0X≤3}= (3) P{X2} =1 =1-0 F(3)-F(0) =ln2 = F(2) =1-ln2 =1-F(2) 已知 X 的分布律为 求X的分布函数， 并画出它的图形。 （看看求的对不对） 分布函数的性质 F(x)是单调不减函数 0≤ F(x) ≤1, 且 不可能事件 必然事件 F(x)处处右连续， 分布函数 F(x)的图形 F(x)是单调不减函数 是不是某一随机变量的分布函数？ 不是 因为 函数 可作为分布函数 概率密度函数 定义 1. 设X为一随机变量，F(X)为其分布函数，若存在非负实函数 p (x) , 使对任意实数 x，有 则称X为连续型随机变量， p(x) 称为X 的概率密度函数,简称概率密度或密度函数. Probability density function p.d.f. 概率密度函数 定义 2. 设X为一随机变量，若存在非负实函数 f (x) , 使对任意实数 a b ，有 则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概率密度函数,简称概率密度或密度函数. Probability density function p.d.f. 分布函数 密度函数在区间上的积分 = 随机变量在区间上取值的概率 概率密度函数的性质 非负性 规范性 密度函数和分布函数的关系 积分关系 导数关系 F(x)＝P {X?x} 连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续 P(X=a)=0 P(a ? X b)= P(aX?b)=P(a ? X ? b)=P(aXb) X取值在某区间的概率等于密度函数在此区间上的定积分 连续型随机变量的分布函数的性质 因此，连续型随机变量取任意指定实数值a的概率为0 解 Step1: 利用密度函数的性质求出 a 例：已知密度函数求概率 Step2: 密度函数在区间的积分得到此区间的概率 例：已知分布函数求密度函数 (2) X 的密度函数 （2）密度函数为 解 解 当 x ? 1 时 0 1 2 3 4 5 y x x 当1 x ? 5 时 例：已知密度函数求分布函数 已知连续型随机变量X的概率密度为 求 X 的分布函数 当 x5 时 所以 0 1 5 1 已知连续型随机变量X的概率密度为 （2） 求 X 的分布函数 （2)求X 的密度函数 均匀分布 若连续型随机变量X的概率密度为 则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布．记为 X ~ U (a, b) Uniform Distribution 定义 分布函数 0 a b x X“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可能”理解为：X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度