[理学]2-3 Bonulli试验和直线上的随机游走.ppt

§3 伯努里试验与直线上的随机游走 一 伯努里概型 如果一次随机试验E只有与两种相反的结果 掷一枚硬币，只出现“正面”或“反面”； 考察一条线路，只有“通”与“不通”； 传递一个信号，只有“正确”与“错误”； 播下一颗种子，了解它“发芽”与否； 观察一台机器“开动”与否…） 这种随机试验称为伯努里(Bernoulli)试验. 有时试验的结果虽有多种，但如果只考虑某事件发生与否，也可作为伯努利试验， 例如抽检一个产品，虽有各种质量指标，但如果只考虑合格与否，就是伯努利试验. n 重伯努利试验 n 重伯努利试验： n次独立重复的伯努里试验. n 重伯努利试验的样本点w=(w1,w2,...,wn)wi =A或 ,表示第i次试验是A是否发生共有2n个样本点n次独立重复的伯努里试验. 可列重伯努利试验 可列重伯努利试验： 样本点w=(w1,w2,...,wn,...)样本点的个数不再可列 不在把样本空间的任何子集看作是事件 二 伯努利概型中的一些分布 只进行一次伯努利试验 概率:P(A)=p, P( ) =q, p+q=1,p0,q0), 这种概率分布称为伯努利分布 伯努利概型中最简单的情形 注 二项分布: 记n重倍努利试验中A出现k次的概率为b(k;n,p) 则, 称b(k;n,p)决定的概率分布为二项分布,且有 讨论伯努利试验中首次成功出现在第k次的概 率,有 例3 一个人要开门，共有n把钥匙，其中仅有一把钥匙开门，这人在第s次试开时才首次成功的概率是多少 分析：n重伯努利试验 p=1/n 第s次首次成功的概率： g(s;1/n)=[(n-1)/n]s-1 1/n 记Ck={第r次成功发生在第k次}（Ｋ次实验是相继做的） 记f(k;r,p)=P(Ck) Ck={前k-1次成功r-1次,且第k次成功} 分赌注问题 甲、乙两赌徒按某种方式下注赌博，先胜t局者将赢得全部赌注，但进行到甲胜r局、乙胜s局(rt,st)时，因故不得不中止，试问如何分配这些赌注才公平合理？ 分析： 甲若想获胜，需要再胜n=t-r局 乙若想获胜，需要再胜m=t-s局 记A={甲获胜},P(A)=p,P(Ac)=q 甲若想获胜，当甲再胜n局时，乙再胜的局数km局，即A的第n次成功发生在第n+k次(km)试验 甲若想获胜,在乙再胜m局时,甲胜的局数k=n,即Ac的第m次成功发生在m+k次(k=n)试验 易证:再赌n+m-1局可以决定胜负 甲若想获胜,必须在n+m-1局中胜n次 根据二项分布: 两端带有吸壁的随机游走 * 试验的独立性 　　 对于一些随机试验来说，如果它们的结果互相不影响，即每个 随机试验的各种结果出现的概率不依赖于其它随机试验出现的结 果，就称这些随机试验是相互独立的。 如果一些随机试验是相互独立的，那么分别属于不同试验的随机事件彼此之间就是相互独立的； 反之，随机试验的相互独立可以理解为分别属于这些试验的随机事件都是相互独立的。 　　 设试验E1的样本空间是　　　　 ，试验E2的的样本空间是 　　 ，… En的样本空间是 ，为了描述这n次试验，应构造复合试验E，他表示依次进行试验　　　　　　　　　 其样本点为 这样的样本空间记作 例 若试验E1是掷一枚硬币， ={正,反}，试验E2是从装有红白黑三球的袋子中摸出一球， ={红,白,黑}，则复合试验E表示先掷一枚硬币再一球，它相应的样本空间 由下列6个样本点构成:(正,红)，(正,白)，(正,黑)，(反,红)，(反,白)，(反,黑)。 “与第k次试验有关的事件”：这种事件发生与否仅与第k次试验的结果有关。因此判断某一样本点是否属于这个事件，只需察看它的第k个分量。 　 均成立 则称试验E1，E2，…，Eｎ是相互独立的. 定义2.2.4　以Ak 记为与第k次实验有关的事件全体。若对于任意的 ?A1， ?A2，…， ?Aｎ 例如: 1. n次有放回摸球所构成的n个试验是相互独立的； 2. n次不放回摸球所构成的n个试验不独立。 例　 若试验E1是掷一枚硬币， ={正,反}，试验E2是从装有红白黑三球的袋子中摸出一球， ={红,白,黑}，则复合试验E表示先掷一枚硬币再一球，它相应的样本空间 由下列6个样本点构成:(正,红)，(正,白)，(正,黑)，(反,红)，(反,白)，(反,黑)。 思考：试验E1与试验E2是否相互独立? (1/6) 重复