[理学]41 数学期望.ppt

《概率论与数理统计》 内容小结 返回 上页 下页 目录 *****大学理学院数学系 伯努利（Bernoulli） 柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov) 第四章 随机变量的数字特征 问题的提出： 在实际应用中，除了需要了解随机变量的分布函数外，我们更关心能够反映随机变量某些特征的指标。 考察广州市区居民的家庭收入情况，我们既要知道家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。 例如： 在评定某地区粮食产量水平时，最关心的是平均产量 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度。 第一节 数学期望 一、离散型随机变量的数学期望 二、连续型随机变量的数学期望 三、数学期望的性质 一、离散型随机变量的数学期望 定义：设X是离散型随机变量，其分布律为 若级数 收敛， 则称级数 为X的数学期望， 记为E(X). 即 例：设X表示掷一颗均匀的骰子的点数，求E(X). 解：因为X的分布律为 所以 例：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，N个人去验血，用两种方法来化验血：（1）每个人的血分别化验，须验N次；（2）把k个人的血液混在一起化验，如果是阴性的，则对这k个人只需作一次化验，如果是阳性的，则对该k个人再逐个分别化验，此时共需作k＋1次化验。假定对所有人来说，化验是阳性反应的概率都是p，且这些人的反应是相互独立的。试说明按方法（2）可减少化验次数，并说明k取何值时最为适当。 解：设q=1-p，则k个人的混合血呈阳性的概率为1-qk。对于方法（2），每个人的血需化验的次数X是随机变量，其分布律为： 关于最佳k的选择： 例：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，N个人去验血，用两种方法来化验血：（1）每个人的血分别化验，须验N次；（2）把k个人的血液混在一起化验，如果是阴性的，则对这k个人只需作一次化验，如果是阳性的，则对该k个人再逐个分别化验，此时共需作k＋1次化验。假定对所有人来说，化验是阳性反应的概率都是p，且这些人的反应是相互独立的。试说明按方法（2）可减少化验次数，并说明k取何值时最为适当。 几种常见的离散型随机变量的数学期望 1. 0-1分布的数学期望 E(X) =p. 2. 二项分布的数学期望 E(X) =np. 3. 泊松分布的数学期望 4. 几何分布的数学期望 一维离散型随机变量函数的数学期望 定义：设X是离散型随机变量，其分布律为 若级数 绝对收敛， 则有 对任一实值函数g(·), 例：设X表示掷一颗均匀的骰子的点数，求E(X2). 解： 例：由自动线加工的某种零件的内径X (毫米)服从正态分布N(μ,1),内径小于10或大于12的零件为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，设销售利润L(元)与零件的内径的关系为 问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大? 解：因为X ～(μ,1)，所以 从而 由销售利润L和X 的关系得 因为 E(L)取最大值。 所以 即 故当 时，销售一个零件的平均利润最大． 定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为 若级数 绝对收敛， 则有 二维离散型随机变量函数的数学期望 例：设(X,Y)的分布律为 求E (XY). 解： 二、连续型随机变量的数学期望 定义：设X是连续型随机变量，其概率密度为f (x). 若积分 绝对收敛， 则称级数 为X的 数学期望， 记为E(X). 即 例：设X的概率密度为 解： 求E(X). 例：设X的概率密度为 解： 求E(X). 例： 设随机变量X的密度函数为： 已知E(X)=2，试求a，b的值。 所以：a=1/4, b=1 几种常见的连续型随机变量的数学期望 1. 均匀分布的数学期望 2. 指数分布的数学期望 3. 正态分布的数学期望 一维连续型随机变量函数的数学期望 定义：设X是连续型随机变量，其概率密度为f (x). 则有 例：设一根长度为1的木棍被在(0，1)上服从均匀分布的点X所截，求包含点p的那段木棍的期望长度，其中 0 p 1. 解： X的概率密度为 若积分 绝对收敛， 令L(X)表示包含点p的那段木棍的长度，则有 于