[理学]42 复变函数项级数.ppt

* 第四章 解析函数的级数表示 §4.2 复变函数项级数 §4.2 复变函数项级数 一、基本概念 二、幂级数 三、幂级数的性质 一、基本概念 1. 复变函数项级数 (2) 称 为区域 G 内 (1) 称 为区域 G 内的复变函数序列。 定义 设复变函数 在区域 G 内有定义， 的复变函数项级数， 简记为 一、基本概念 2. 复变函数项级数收敛的定义 (1) 称 为级数 的部分和。 定义 设 为区域 G 内的复变函数项级数， 称级数 在 点收敛。 z0 则称级数 在区域 D 内收敛。 (3) 如果存在区域 D G ， 有 此时，称 (2) 如果对 G 内的某一点 ，有 z0 则 为和函数，D 为收敛域。 二、幂级数 1. 幂级数的概念 其中， 为复常数。 定义 称由下式给出的复变函数项级数为幂级数： ( I ) 特别地，当 时有 (Ⅱ) 注 (1) 下面主要是对 型幂级数进行讨论，所得到的结论 (Ⅱ) 只需将 换成 即可应用到 型幂级数。 ( I ) z (2) 对于 型幂级数，在 点肯定收敛。 (Ⅱ) 二、幂级数 2. 阿贝尔 ( Abel ) 定理 (1) 如果级数在 点收敛，则它在 上绝对收敛； 对于幂级数 ，有 定理 (2) 如果级数在 点发散，则它在 上发散。 则存在 M，使对所有的 n 有 即得 收敛。 证明 (1) 由 收敛，有 其中 ， 当 时， P83 定理 4.5 推论 (阿贝尔与伽罗华) 对于幂级数 ，有 二、幂级数 2. 阿贝尔 ( Abel ) 定理 (1) 如果级数在 点收敛，则它在 上绝对收敛； 定理 (2) 如果级数在 点发散，则它在 上发散。 证明 (2) 反证法： 与已知条件矛盾。 已知级数在 点发散， 假设存在 使得级数在 点收敛， 由定理的第 (1) 条有， 级数在 上绝对收敛； 级数在 点收敛， 二、幂级数 3. 收敛圆与收敛半径 发散 发散 收敛 收敛 分析 二、幂级数 3. 收敛圆与收敛半径 发散 发散 收敛 收敛 定义 如图设 CR 的半径为 R， (1) 称圆域 为收敛圆。 (2) 称 R 为收敛半径。 R 注意 级数在收敛圆的边界上 各点的收敛情况是不一定的。 约定 表示级数仅在 z = 0 点收敛； 表示级数在整个复平面上 收敛。 例 考察级数 的收敛性。 对任意的 解 都有 收敛半径为 (必要条件?) 例 考察级数 的收敛性。 由 收敛， 因此级数 在全平面上收敛， 收敛， 故级数 仅在 点收敛， 收敛半径为 对任意固定的 解 当 时，有 级数的部分和为 解 ▲ 级数发散。 级数收敛； (1) 当 时， 和函数为 (2) 当 时， 故级数收敛半径为 二、幂级数 4. 求收敛半径的方法 (1) 比值法 如果 则收敛半径为 对于幂级数 ，有 推导 考虑正项级数 利用达朗贝尔判别法： 当 即 时，级数收敛； 当 即 时，级数发散。 P85 (2) 根值法 如果 则收敛半径为 二、幂级数 4. 求收敛