[理学]42微积分基本公式.ppt

★二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式 小 结 解 原式= §4.2 微积分基本公式 一、问题的提出 ★二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼兹公式 (微积分基本公式) 通过定积分的物理意义, 例 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 (v(t)和s(t)的关系) 设某物体作直线运动, 已知速度 的一个连续函数, 求物体在这段时间内所经过的路程. 是时间间隔 一、问题的提出 其中 积分的有效、简便的方法. 找到一个计算定 定义 例 原函数的定义 如果在区间I上, 则称F(x)为f (x)在I上的一 原函数. 个 或由 知 是 原函数. 也是 的原函数, 其中C为任意常数. 一般, 亦为f (x)的原函数 (C为任意常数). 因 一个函数如果有原函数, 就有无穷多个. 则 若F(x)为f (x)的一个原函数, 如果能从v(t)求出s(t), 运算. 定积分 运算就可化为减法 启发 进行一般性的讨论. 定积分的计算都能遵循这样的原则吗 记 积分上限函数 定积分 积分上限函数 注 一定要分清函数的 如果上限 x 在区间[a,b]上任意变动, 每一个取定的x值, 则对于 定积分有一个对应值, 所以它 在[a,b]上定义了一个函数, 设f (x)在[a,b]中可积, 则对任一点 与 自变量x 积分变量t. 这个函数的几何意义 下面讨论这个函数的可导性. 是如图红色部分 的面积函数. 证 定理 因为 积分上限函数的性质 由积分中值定理得 则同理可证 则同理可证 定理指出: 和积分联结为一个有机的整体 (2) 连续函数 f (x)一定有原函数, 就是f (x)的一个原函数. (1) 积分运算和微分运算的关系, 它把微分 所以它是微积分学基本定理. 函数 — 微积分, 推论 2009年考研数学(二), 填空, 4分 曲线 解 在点(0,0)处的切线方程为 所以, 曲线在点(0,0)处的切线方程为: 分析 求 必须先去掉 积分号, 只要对所给积分方程两边求导即可. 解 对所给积分方程两边关于x求导,得 需先求出 即 定理（原函数存在定理） 定理的重要意义 肯定了连续函数的原函数是存在的. 注意 例 则 (A) F(x)在x = 0点不连续. (B) F(x)在 内连续, 在x = 0点不可导. (C) F(x)在 内可导, 且满足 (D) F(x)在 内可导, 但不一定满足 考研数学(四)选择题,4分 定理 （微积分基本公式） 证 令 令 牛顿—莱布尼茨公式 (微积分基本公式) 微积分基本公式表明 注 求定积分问题转化为求原函数的问题. 一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量. 仍成立. 例 求 原式 例 设 , 求 . 解 解 例 求 解 由图形可知 例 求 解 面积 例 解 平面图形的面积. 所围成的 例 解 如被积函数有绝对值, 注 再用 去掉后, N--L公式. 应分区间将绝对值 解 例 已知函数 求积分上限的函数 解 分段函数 错! 已知函数 求积分上限的函数 正确做法 解 此极限为一积分和的极限. 例 解 原式 * * * *