[理学]5-6 广义积分.ppt

函数与极限 作业 P239 1/(1)(4)(7)(8) 四、小结 经 济 数 学 下页 返回 上页 一、无穷限的广义积分 第五节 广义积分 二、无界函数的广义积分 定义1 一、无穷限的广义积分 定义2 定义3 若 是 的一个原函数, 记 则广义积分可表示为(如果极限存在) 例1 计算广义积分 解 对任意的 有 于是 因此 或 例2　计算 解 若广义积分收敛可以直接用“=”. 例3 判断广义积分 解 对任意 的收敛性. 因为 不存在, 故由定义知广义积分 发散. 解 广义积分发散就严格按照定义. . sin 4 ò +￥ ￥ - xdx 计算 例 ò ￥ - 0 sin 发散 xdx Q ò \ +￥ ￥ - . sin 发散 xdx 例5　计算 解 解 . 1 6 2 ò + ￥ + ￥ - dx x x 计算 例 解 . 1 6 2 ò + ￥ + ￥ - dx x x 计算 例 . 1 1 2 0 2 发散 发散 dx x x dx x x ò + \ ò + ￥ + ￥ - ￥ - Q 解 ？ . 2 1 7 2 2 ò - + ￥ + dx x x 计算 例 ( ) [ ] . 2 1 1 ln lim 4 ln 2 ln lim 1 ln lim 3 1 2 1 lim 1 1 lim 3 1 2 1 2 2 2 2 2 2 发散 不存在 ò - + \ - - + - - = ú ? ù ê ? é ò + - ò - = ò - + ￥ + +￥ ? +￥ ? +￥ ? +￥ ? +￥ ? ￥ + dx x x b b b dx x dx x dx x x b b b b b b b Q 解 . 2 1 7 2 2 ò - + ￥ + dx x x 计算 例 例8 计算广义积分 解 注: 其中未定式 例9 讨论广义积分 的敛散性. 证 因此, 当 时, 题设广义积分收敛, 其值为 当 时, 题设广义积分发散. 设函数　　　在　　　连续．且 　如果　　　　　　　　　 存在，就定义广义积分 否则称广义积分　　　　　　　　发散. 定义4 二、无界函数的广义积分 设函数 在　　　上连续，且 若极限　　　　　　　　　　　　　　　　　存在， 就称此极限为　　　在　　　　上的广义积分， 　 记作 此时也称广义积分　　　　　　　　收敛， 若上述极限不存在，就称广义积分发散． 定义5 定义6 设函数 在区间 上除点 外连续, 而在点 的邻域内无界, 区间 上的广义积分定义为 则函数 在 当上式右端两个积分都收敛时, 称广义积分 是收敛的, 否则, 无界函数的广义积分又称为瑕积分. 定义中函数 的无界间断点称为瑕点. 称广义积分 是发散的. 例10 计算广义积分 原式 解 例11 计算广义积分 故题设广义积分发散. 解 例12 讨论广义积分 证 的敛散性. 因此, 广义积分收敛, 当 时, 其值为 广义积分发散. 当 时, 例13 计算广义积分 瑕点. 解 例14 计算广义积分 被积函数有两个可疑的瑕点: 解 因为 所以, 是被积函数的唯一瑕点. 从而 o ⑴ o ⑵ o ⑶ o ⑷ 常义积分 广义积分 广义积分的定义及计算 注意 与定积分的区别与联系； 有时题目可能含两类广义积分，要会处理 换元法中，广义积分化成常义积分就按照常义积分做，但仍要注意判断有无无穷间断点。 如 思考题 ( ) . , 1 ln 1 0 ò ? - N n m xdx x n m 计算 思考题解答 * *