[理学]56第六章 数值积分与数值微分.ppt

. . . . . . . . . . . . . §3 Romberg求积法 . . . . . §4 Gauss公式 一、问题提出 问 (1)最高可达多少？ (2)如何构造这样的公式？ 代数精度至少为n-1, 插值型求积公式 二、基本概念和结论 1、只要适当选择求积节点，(*)精度最高可达2n-1. 节点个数 2、具有最高精度的求积公式称为高斯公式， 此时求积节点xk称为高斯点。 3、设 称f(x)与g(x)正交。 4、定理： 对插值型求积公式(*),节点xk(k=1,2,…,n)为高斯点 的多项式。 由此得构造高斯公式的方法： 寻找[a,b]上与次数≤n-1的多项式正交的n次多项式， 且恰有n个互不相同的零点就是高斯点。 三、高斯---勒让德求积公式 1、勒让德多项式 (1)三项递推式 (2)性质 ① ②Pn(x)在[-1,1]上与任意次数≤n-1的多项式正交。 ③Pn(x)在[-1,1]上有n个互异零点。 2、几个常用的高斯公式 (1)一点高斯—勒让德公式： (2)两点高斯—勒让德公式： 四、一般积分区间上的高斯求积公式 (1)一点高斯公式： (2)两点高斯公式： CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY §2 牛顿---柯特斯公式 §3 龙贝格求积法 CH6 数值积分与数值微分 §1 数值积分有关的基本概念 §4 高斯求积公式 §5 数值微分 -*- 为了计算瑞士国土的面积,首先对地图作了如下测量: 以西向东方向为x轴,由南向北方向为y轴,选择方便的原点, 并将从最西边界到最东边界在x轴上的区间适当地划分为 若干段,在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y 坐标,数据如表(单位mm): x 7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34 y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110 x 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5 y1 36 34 41 45 46 43 37 33 28 y2 117 118 116 118 118 121 124 121 121 x 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0 y1 32 65 55 54 52 50 66 66 68 y2 121 122 116 83 81 82 86 85 68 瑞士地图的外形如图(比例尺18mm:40km) 试由测量数据计算瑞士国土的近似面积,并与其精确值 41288平方公里比较 §1 数值积分的基本概念 对于积分 但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象: 一、数值积分的必要性 例如 例如 ? ? ? 三、代数精度 如何衡量一个求积公式的好坏？ ⒈ 定义：若某个求积公式对所有次数≤m的多项式都 精确成立，而至少对一个m+1次多项式不精确成立， 则称该公式具有m次代数精度。 ⒉ 定理1：一个求积公式具有m次代数精度的充分必要 条件是该公式对 精确成立，而对 不精确成立。 例1 验证矩形公式 的代数精度为多少？ 解： 所以代数精度为1。 解： 例2 试确定系数，使 的代数精度尽量高。 所以至少具有1次代数精度。 此公式为 令公式分别对f (x)=1, x时精确成立，则有 思考 三、插值型求积公式 且已知 ,则可求f (x)的n次插值多项式 不同的 插值方法 有不同的 基函数 称之为插值型求积公式。 求积余项为 定理2：具有n+1个节点的数值求积公式 是插值型求积公式的充分必要条件为该公式至少具有 n次代数精度。 例4.