[理学]信息论与编码原理_第8章_线性分组码.ppt

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[理学]信息论与编码原理_第8章_线性分组码

第8章 线性分组码 8.1 一般概念 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 8.3 线性分组码的生成矩阵 8.4 线性分组码的编码 8.5 线性分组码的最小距离、检错和纠错能力 8.6 线性分组码的译码 8.7 线性分组码的性能 8.8 汉明码 8.9 由已知码构造新码的方法 8.10 GSM 的信道编码总体方案 8.11 线性分组码的码限 8.1 一般概念 (1) 线性分组码的编码:编码过程分为两步: 把信息序列按一定长度分成若干信息码组, 每组由 k 位组成; 编码器按照预定的线性规则(可由线性方程组规定),把信息码组变换成 n 重(nk)码字,其中 (n-k) 个附加码元是由信息码元的线性运算产生的。 (2) 线性分组码的码字数:信息码组长 k 位,有 2k 个不同的信息码组,有 2k 个码字与它们一一对应。 8.1 一般概念 (3) 术语 线性分组码:通过预定的线性运算将长为 k 位的信息码组变换成 n 重的码字 (nk)。由 2k 个信息码组所编成的 2k个码字集合,称为线性分组码。 码矢:一个 n 重的码字可以用矢量来表示: C=(cn-1,cn-1,…,c1,c0 ) (n,k) 线性码:信息位长为 k,码长为 n 的线性码。 编码效率/编码速率/码率/传信率:R=k /n。它说明了信道的利用效率,R 是衡量码性能的一个重要参数。 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 (1) 一致监督方程 构成码字的方法:编码是给已知信息码组按预定规则添加监督码元,构成码字。 在 k 个信息码元之后附加 r(r=n-k) 个监督码元,使每个监督元是其中某些信息元的模 2 和。 举例:k=3, r=4,构成 (7,3) 线性分组码。设码字为: (c6,c5,c4,c3,c2,c1,c0) c6,c5,c4为信息元,c3,c2,c1,c0为监督元,每个码元取“0”或“1” 监督元按下面方程组计算: 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 (1) 一致监督方程 一致监督方程/一致校验方程:确定信息元得到监督元规则的一组方程称为监督方程/校验方程。由于所有码字都按同一规则确定,又称为一致监督方程/一致校验方程。 为什么叫线性分组码?由于一致监督方程是线性的,即监督元和信息元之间是线性运算关系,所以由线性监督方程所确定的分组码是线性分组码。 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 (2) 举例 信息码组 (101),即c6=1, c5=0, c4=1 代入 (7.2.1) 得: c3=0, c2=0, c1=1, c0=1 由信息码组 (101) 编出的码字为 (1010011)。其它 7 个码字如表8.2.1。 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 (3) 一致监督矩阵 为了运算方便,将式(7.2.1)监督方程写成矩阵形式,得: 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 (3) 一致监督矩阵 系数矩阵 H 的后四列组成一个 (4×4) 阶单位子阵,用 I4 表示,H 的其余部分用 P 表示: 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 (3) 一致监督矩阵 推广到一般情况:对 (n,k) 线性分组码,每个码字中的 r(r=n-k) 个监督元与信息元之间的关系可由下面的线性方程组确定: 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 (3) 一致监督矩阵 令上式的系数矩阵为 H,码字行阵列为 C : 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 (4) 一致监督矩阵特性 对 H 各行实行初等变换,将后面 r 列化为单位子阵,得到下面矩阵,行变换所得方程组与原方程组同解。 监督矩阵 H 的标准形式:后面 r 列是一单位子阵的监督矩阵 H。 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 (4) 一致监督矩阵特性 H 标准形式的特性 H 阵的每一行都代表一个监督方程,它表示与该行中“1”相对应的码元的模 2 和为 0。 H 的标准形式表明了相应的监督元是由哪些信息元决定的。例如 (7,3) 码的 H 阵的第一行为 (1011000),说明第一个监督元等于第一个和第三个信息元的模 2 和,依此类推。 H 阵的 r 行代表了 r 个监督方程,由 H 所确定的码字有 r 个监督元。 为了得到确定的码,r 个监督方程(或 H 阵的 r 行)必须是线性独立的,这要求 H 阵的秩为 r。 若把 H 阵化成标准形式,只要检查单位子阵的秩,就能方便地确定 H 阵本身的秩。 8.3 线性分组码的生成矩阵 8.3 线性分组码的生成矩阵 (1) 线性码的封闭性 线性码的封闭性:线性码任意两个码字之和仍是一个码字。 定理7.3.1:设二元线性分组码 CI (CI

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