[理学]力学 第5章.ppt

例：质量为m，长为 l 的均匀直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，可以在竖直平面内运动。初始时，棒静止在水平位置。求它由此自由下摆θ角时的角速度和角加速度。 解: 定轴转动定律 动能定理 *5.6 进动 据刚体的角动量定理有: 同方向 重力矩 式中: 是陀螺质心的位置矢量, 与自转轴同向, 与之平行 时间内, 的变化为: 角动量 顶端绕一水平圆周运动 把自转轴绕一竖直轴的这种转动,称为旋进或进动. z r sin? ? rc z L sin? ? d? (a) (b) (c) 与 陀螺仪 若转子稍不对称,就会对各个支撑轴产生巨大的作用力使其损坏,所以设计转子精度要高. 应用: 航海、航空、导弹和火箭等系统的定向、导航和自动驾驶等.它们的转子速度达万转每分 5.1 质点的角动量 角动量定理 1.质点的角动量 称为质点相对参考点O的角动量或动量矩 第5章 角动量 角动量守恒定律 例：求从A点自由下落质点在任意时刻的角动量 任意时刻 t， 有 （1） 对 A 点的角动量 （2） 对 O 点的角动量 2. 质点的角动量定理 角动量的时间变化率 力矩 定义：对O点力矩 质点的角动量定理 大小 质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量的时间变化率 3角动量守恒定律 则 或 若对某一固定点，质点所受合外力矩为零，, 则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。 若 质点的角动量定理 例：质点做匀速直线运动中，对0点角动量是否守恒？ 例. 试利用角动量守恒定律: 1) 证明关于行星运动的开普勒定律: 任一行星和太阳之间的联线,在 相等的时间内扫过的面积相等, 即掠面速度不变. (2) 说明天体系统的旋转盘状结构. (1) 行星对太阳O的角动量的大小为 其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角. 表示 时间内行星所走过的弧长, 则有 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有 用 [证明] 时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积, 如图中所示. 其中 是 d? /dt 称为掠面速度. 由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是等于零,所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运动, 而且 这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律. (2)角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构 天体系统的旋转盘状结构 5.2 质点系的角动量定理 mi mj m1 O 质点系角动量 第i个质点角动量的时间变化率 质点系的角动量定理 时 质点系的角动量守恒 例.两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮绳子的两端。一个孩子用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。 若滑轮的质量和轴上的摩擦都可忽略，哪一个小孩先到达滑轮？两个小孩重量不等时情况又如何？ h h m1 m2 解：把每个小孩看成一个质点，以滑轮的轴为参考点，把两个小孩看成一个系统。 此系统的总角动量为 v1左边孩子向上的速度； v2右边孩子向上的速度； 此系统所受外力矩：只有两个小孩所受重力矩，彼此抵消。 （内力矩不改变系统角动量。） 因此整个系统角动量守恒。 R 设两个小孩起初都不动，即 以后，虽然 v1 ,v2 不再为零，但总角动量继续为零，即v1 ,v2 随时保持相等，所以他们将同时到达滑轮。 若两个小孩重量不等，即 系统所受外力矩 系统总角动量 仍设起初两个小孩都不动， 由角动量定理 若 有 轻的升得快； h h m1 m2 R 例.光滑水平桌面上放着一质量为M的木块, 木块与一原长为L0, 劲度系数为k的轻弹簧相连, 弹簧另一端固定于O点. 当木块静止于A处时, 弹簧保持原长, 设一质量为m的子弹以初速 v0水平射向M并嵌在木块中. 当木块运动到 B (OB?OA)时, 弹簧的长度为L. 求木块在B点的速度 vB的大小和方向. 解: (1) m和M相撞时,系统的动量守恒 (2) A?B, 只有弹力作功, 机械能守恒 (3) A?B, 弹力对O点的力矩为零, 对O点角动量守恒 5.3 刚体的定轴转动 (1)平动: 在运动过程中刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置都相互平行 A B A′ B′ B 〞 A〞 刚体的平动 任意质元运动都代表整体运动 (2) 定轴转动 刚体所有质元都绕一固定直线（定轴）做圆周运动 1.刚体的平动和定轴转动 用质心运动代表刚体的平动 （质心运动定理） 2 用角量描述转动 1) 角位移 ?θ : 在 ?t 时间内刚体转动角度 2)角速度 ? : 3)角加速度 ? : ?θ z 刚体定轴转动 角速度 的方向按右手螺旋法则确定 切向分量