[理学]同济第五版高数3-5极值最值ppt.ppt

2.函数极值的求法 * 第五节 函数的极值 与最大值最小值 一、函数的极值以及求法 二、最大值最小值问题 1.极值的定义 函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 一、函数的极值以及求法 观察极值点处函数的特征： 定理1(必要条件) 驻点:使导数 为零的点 例如, 于是，对于可导函数,可以 先求出驻点，再确定其是否 为极值点. 的极值存在吗？ 存在极小值 但 在 处不可导. 于是, 函数在它的导数不存在的点处也可能 取得极值. 怎样判定函数在驻点或不可导点处是否 取得极值？ 可能的极值点： 驻点或不可导点 ( 是极值点情形) ( 不是极值点情形) 设 是驻点,观察其左右两旁的函数增减： 怎样判定函数在驻点或不可导点处是否 取得极值？ 则 f(x)在 处取得极小值. 则 f(x)在 处取得极大值. 有 (2)如果 符号相同,则 在 处无极值. 定理2 (第一充分条件) 而 有 (3)如果当 及 时, 而 有 (1)如果 有 设 f(x)在 处连续,且在 内可导， 求可导函数极值的步骤: 例1 解 列表讨论： 极大值 极小值 图形如下： 定理3 (第二充分条件) 设 在 处具有二阶导数,且 (2)当 时, 函数 在 处取得 那么 极小值. 时, 函数 在 处取得 (1)当 极大值； 是极小值， 是极大值. 上例 求 的极值. 又 由极值的第二充分条件,可以根据驻点处 二阶导数的符号来判定函数是否有极值. 证 (2) 同理可证. 在 处取得极大值． 函数 由第一充分条件(1),知 例2 解 再用定理2(第一充分条件)来判别： 注意: 例3 解 连续函数的不可导点,也可能是 函数的极值点 注意: 二、最大值与最小值问题 求函数最值的方法: (1)求 在 内的极值可疑点 (2)最大值 最小值 则其最大(小)值只能在极值点或端点处达到. 特别地 当 在 内只有一个极值可疑点时, 当 在 上单调时,最值必在端点处 达到. 若在此点取极大 值,则也是最大 值. (小) 对于应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点. (小) 例4 求函数 在闭区间 上的最大值和最小值 . 解 故函数在 取最小值 0 ; 端点函数值 例5 铁路上AB 段的距离为100 km ,工厂C 距A处20Km , AC⊥AB , 要在 AB 线上选定 每公里货运价之比为3:5,为使货物从B 运到 工厂C 的运费最省, 问D 点应如何选取? 20 一点D向工厂修一条公路, 已知铁路与公路 20 解 则 令 得 故AD =15 km 时运费最省. 总运费 从而为最小点, 设 例6 把一根直径为d 的圆木锯成矩形梁, 解 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为 问矩形截面的高h和b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 由实际意义可知,所求最值存在, 又驻点惟一, 故所求结果使梁的抗弯截面模量最大， 求解 即为最好的选择 . 1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点: 驻点或不存在的点 (2) 极值的判定法 过 由正变负 为极大值 过 由负变正 为极小值 为极大值 为极小值 小 结 (注意使用条件) 第一充分条件 第二充分条件 2. 连续函数的最大值和最小值 最值点在极值点或边界点取得； 应用题可根据问题的实际意义判别最大值和最小值 . （3）极值是函数的局部性概念: 极大值可能小于极小值, 极小值可能大于极大值. 思考题 1.下列命题正确吗？ 的导数存在 , 取得极大值 ; 取得极小值; 的导数不存在. 提示: 利用极限的保号性 . 2. 设 则在点 处( ). 思考题解答 1.不正确． 例 当 时， 于是 为 的极小值点