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§11-0 平面与直线的方程·二次曲面 平面与直线的方程 曲面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 曲面及其方程 * 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量 (垂直于平面内的任一向量)． 已知平面?的法向量 是平面?上的一定点， 则平面上的任一点 满足几何条件 代入向量的坐标 平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，满足上方程的点都在平面上，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形． 其中法向量 已知点 解 取 所求平面方程为 化简得 由平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 结论：平面方程是三元一次方程，任意三元一次方程 的图形是一平面。 平面一般方程的几种特殊情况： 平面通过坐标原点； 平面通过 轴； 平面平行于 轴； 平面平行于 坐标面； 类似地可讨论 情形. 类似地可讨论 情形. 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 解 设平面为 将三点坐标代入得 解 将 代入所设方程得 平面的截距式方程 方向向量的定义： // 三、空间直线的参数方程与对称式方程 如果一非零向量 平行于一条已知直线L，向量 称为直线L的方向向量． 直线的对称式方程 直线的一组方向数 直线的参数方程 消去参数t，有 例1 用对称式方程及参数方程表示直线 解 在直线上任取一点 取 解得 点坐标 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 对称式方程 参数方程 定义 空间直线可看成两平面的交线． 空间直线的一般方程 四、空间直线的一般方程 注：表示同一直线的一般方程不唯一。 注： 1. 表示同一直线的对称方程不唯一； 2. 对称式方程可转化为一般方程 ; 4. 任一条直线均可表示为对称式方程. 理解为: 二次曲面的定义： 1.球面 解 根据题意有 所求方程为 2、 柱面P11 定义： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之为柱面. 这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线. P(x,y,z) 柱面上任取一点P(x,y,z) 沿母线与xoy平面的交点是P?(x,y,0) P?(x,y,0) P?(x,y,0)在准线上，从而柱面上 任一点P的坐标均满足方程 F(x,y)=0. 准线方程 柱面方程：F(x,y)=0 从柱面方程看柱面的特征： （其他类推） 实 例 椭圆柱面 // 轴 双曲柱面 // 轴 抛物柱面 // 轴 柱面举例 抛物柱面 椭圆柱面 圆柱面 注意 平面解析几何中 空间解析几何中 斜率为1的直线 方程 3、 旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴. 平面上的曲线称为母线。