[理学]数值分析第三章2012.ppt

消去法是按照系数矩阵的主对角线上的元素（主元）进行消元。从而可能出现： （1）某个主元为零，导致消元过程无法进行。 （2）当某个主元的绝对值很小时，计算结果误差很大。 Matlab 软件给出了Cholesky分解函数 chol（） § 3.3 向量和矩阵的范数 向量范数应用：判断向量的大小 求矩阵的算子范数 矩阵是一种线性映射算子，称为矩阵算子。所以有些矩阵范数又叫做“算子范数”。 线性时不变算子的矩阵表示 分形艺术 迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解） §3.4.1.雅可比(Jacobi)迭代法 用矩阵表示: 收敛与解 Jacobi迭代法的计算过程如下： §3.4.2 高斯—塞德尔迭代法 §3.4.3 松弛法（SOR） 松弛法计算过程如下： 迭代法举例 §3.5 迭代法的收敛性 误差估计： 算法的稳定性 区分：算法的稳定性与病态问题 病态问题不能找到稳定的算法； “良态”问题可能存在不稳定的算法； 举例：良态问题的不稳定算法 良态问题的不稳定算法 良态问题的不稳定算法 §3.7线性方程组的病态问题及条件数 ——线性方程组误差分析 举例： 迭代次数的估计： 迭代法算法结构 注意：L、U 前有负号 -L -U “良态”问题可能存在不稳定的算法。 微小变化引起解的很大变化 病态方程组 从系统角度分析，系统输入很小误差，对结果产生很大影响。 整个计算过程只需用一组（n个）单元存放近似解分量。而且一般认为新近似解要比老近似解更接近真实解。 将已计算出的x（k+1）分量替换Jacobi 迭代公式中x（k）相应分量，这种方法称为Gauss-Seidel迭代。 评价： 与Jacobi 相比， Gauss-Seidel迭代法只需一组工作单元存放近似解。 若把迭代公式改写为： 用矩阵表示 : Gauss-Seidel迭代法的解 比较： 评价： 与Jacobi 相比， Gauss-Seidel迭代法只需一组工作单元存放近似解。 上例计算结果显示， Gauss-Seidel迭代法比Jacobi 迭代效果好。事实上， 对有些问题Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛快，但也有Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛慢，甚至还有Jacobi迭代法收敛，Gauss-Seidel迭代法发散的情形。 Gauss-Seidel迭代法的计算过程： 是 Gauss-Seidel迭代法的一种加速法 矩阵形式 : 可把?x看作Gauss-Seidel迭代的修正量，则第k次近似解修正后，新的近似解为： 松弛法是将?x乘上一个参数因子?作为修正量，则新的近似解为： 松弛法迭代公式的矩阵表示 松弛因子的选取对收敛速度影响极大，但目前尚无可供实用的计算最佳松弛因子的方法。通常是根据系数矩阵的性质及实际经验，通过试算来确定松弛因子。 不同迭代算法收敛性不同。 Jacobi收敛最慢，SOR收敛最快 方法1不收敛 迭代法举例： （前面以证明） （前面以证明） 谱半径 对一些特殊的系数矩阵可给出几个常用的判别收敛条件 注意： 可约 ? 矩阵范数（Matrix norm） Rm?n空间的矩阵范数 || · || 对任意 满足： （正定性) 对任意 (齐次性) （三角不等式) (4) || AB || ? || A || · || B || （相容 (当 m = n 时)) 定义： 意味多个矩阵（向量）运算时，误差是可控的 Frobenius 范数与 向量2范数相容 矩阵 ATA 的最大 特征根 常用矩阵范数： 1. Frobenius 范数 — 向量|| · ||2的直接推广 对方阵 以及 有 2. 算子范数 由向量范数 || · ||p 导出的关于矩阵 A ? Rn?n 的 p 范数: 则 常用算子范数有： （行和范数） （列和范数） （谱范数 ） 称为算子范数（诱导范数） 满足相容性 向量范数 我们只关心有相容性的范数，算子范数总是相容的。 即使 A中元素全为实数，其特征根和相应特征向量 仍可能是复数。将上述定义中绝对值换成复数模均成立。 否则，必存在某个向量范数 || · ||v 使得 对任意A 成立。 注： Freebies范数不是算子范数 设A＝I（单位阵），其|| · ||F为： ∴|| · ||F不是算子范数 例：已知矩阵A，求算子1范数和算子∞范数。 任意离散有限线性算子可表示为矩阵形式。 可表示为矩阵形式