[理学]概率4修改.ppt

例2.4 设X ~参数为 p 的几何分布，求D( X ). 解 例2.5 设 X 在 [a , b]上服从均匀分布，求D( X ) ． 解 例2.6 设 X 服从参数为 的指数分布，求 D( X )． 解 例2.7 设 ，求D( X ) ． 解 常见随机变量的方差 分布 方差 概率分布 参数为p 的 （0-1）分布 p(1-p) B(n,p) np(1-p) (?) ? 参数为 p 的 几何分布 分布 方差 概率密度 区间(a,b)上 的均匀分布 N(?,? 2) 参数为 的 指数分布 2.2 方差的性质 性质1 设 C 为常数，则 D(C ) = 0． 证 性质2 证 性质3 证 性质4 若X 与Y 相互独立，则有 证 若X 与Y 相互独立， 则 性质5 随机变量X的方差D(X)=0的充分必要条件是： X以概率1取常数C=E(X),即 注 X恒取常数 例2.3 设X ~ B( n , p)，求D(X ). 解一 前面已求解。 故 解二 引入随机变量 相互独立，且 * * * * * * §1 数学期望 §2 方差 §3 协方差与相关系数 §4 矩 随机变量的概率分布反映了随机变量的统计规律性，但是在实际问题中，要确定一个随机变量的分布不是一件容易的事情．在许多情况下，并不需要求出随机变量的分布，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征的若干个数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征． 例 考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小. r.v.的平均取值 —— 数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差 描述两 r.v.间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数 本 章 内 容 1.1离散型随机变量的数学期望 例1.1 一台机床加工某种零件,已知它加工出优质品、合格品和废品的概率依次为0.2、0.7和0.1．如果出售优质品和合格品，每一个零件可分别获利0.40元和0.20元;如果加工出一件废品则要损失0.10元.问这台机床每加工出一个零件，平均可获利多少元？ 解 以X表示加工出一个零件所获得的利润,则X的分布律为 §1 数学期望 X －0.10 0.20 0.40 P 0.1 0.7 0.2 现假设该机床加工 个零件，其中废品 件，合格品 件，优质品 件，这里 . 则这 个零件可以获得总利润为 其中 ， 和 分别是事件 、 和 出现的频率.当 很大时， ， 和 分别接近于0.1, 0.7和0.2。 X －0.10 0.20 0.40 P 0.1 0.7 0.2 平均每个零件可获利为 于是可以期望该机床加工出的每一个零件所获得的平均利润为 （元）. 定义1.1 设离散型随机变量X 的分布律为 则称 （要求此级数绝对收敛） 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) , 则称 为X 的数学期望(或均值)． （要求此积分绝对收敛) 数学期望的本质 —— 加权平均 ,它是一个数不再是 r.v. . 为 X 的数学期望(或均值)． 例1.2 设X服从参数为p的(0－1)分布,求X的数学期望． 解 X 的分布律为 X 0 1 P 1 － p p 例1.3 设 ，求 ． 解 X 的分布律为 例1.4 设 ，求 . 解 X 的分布律为 例1.5 设 X ~ 参数为 p 的几何分布，求E ( X ). 解 X 的分布律 常见离散型r.v