[理学]概率统计3随机向量.ppt

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2018-02-28 发布于浙江
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[理学]概率统计3随机向量

即首先找出上式右端的积分区域Dz。如果求得了FZ(z) ,那么可通过求出Z的概率密度。上一页下一页返回例3：设且X与Y相互独立，求的概率密度。由于X与Y相互独立，于是(X,Y)的概率密度为解 :X和Y的概率密度分别为先求Z的分布函数FZ(z) 当z0时 , FZ(z)=0 当z≥0时, 上一页下一页返回所以于是可得上一页下一页返回的概率密度为如果一随机变量的概率密度为上式，称该随机变量服从参数为?的瑞利分布。由题可知，若X,Y独立服从同一分布则服从参数为?的瑞利分布。设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，求Z=X+Y的概率密度. (1)和的分布上一页下一页返回令，则Z的分布函数为固定z和y对积分作换元法，令x+y=u得于是：由概率密度定义，即得Z的概率密度为由X与Y的对称性，又可得当X与Y相互独立时，有其中分别是X和Y的密度函数。上一页下一页返回卷积公式上一页下一页返回例4 设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们都服从 N(0,1）,求Z=X+Y的概率分布密度. 解由题设知X，Y的分布密度分别为 fX（x）= , -∞＜x＜+∞， fY（y）= , -∞＜y＜+∞. 由卷积公式知 fZ(z)= 上一页下一页返回设t= ，得 fZ(z) 即Z服从N（0，2）分布. 一般,设X,Y相互独立,且X~N(μ1,σ12),Y~N（μ2,σ22),则 Z=X+Y~N（μ1+μ2,σ12+σ22）.这个结论还能推广到 n个独立正态随机变量之和的情况，即若Xi~N（μi,σi2) (i=1,2,…,n),且它们相互独立,则它们的和Z=X1+X2+…+Xn ）. ~N（更一般地，可以证明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布. 上一页下一页返回例5 设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 fX（x）= fY（y）= 求随机变量Z=X+Y的分布密度. 解 X，Y相互独立，所以由卷积公式知 fZ（z）= . 由题设可知fX(x)fY(z-x)只有当0≤x≤1， z-x＞0时才不等于零.现在所求的积分变量为x，z当作参数，当积分变量满足x的不等式组0≤x≤1 被积函数fX(x)fY(z-x)≠0. ,x＜z时，上一页下一页返回当z＜0时，上述不等式组无解，故fX(x)fY(z-x)=0. 当0≤z≤1时，不等式组的解为0≤x≤z.当z＞1时，不等式组的解为0≤x≤1.所以 fZ（z）= 下面针对参数z的不同取值范围来计算积分. 上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回例7 设X,Y相互独立,且都服从参数为1的指数分布，求Z=max{X,Y}的密度函数. 解设X,Y的分布函数为F（x）,则 F（x）= 由于Z的分布函数为 =［F(z)］2 FZ(z)=P{Z≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z} 所以,Z的密度函数为 fZ（z）= 2F(z)F′(z) = 上一页下一页返回该例说明:联合分布可唯一确定边缘分布,反之,边缘分布,一般不能确定联合分布. 2、二维连续型随机变量的边缘分布设(X,Y)为二维连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)则从而知，X为连续型随机变量且概率密度为同理，Y也是连续型随机变量，其概率密度为上一页下一页返回例3 设随机变量X和Y具有联合概率密度 f（x，y）= 求边缘概率密度fX（x），fY（y）. fX（x）= 解 fY（y）= 上一页下一页返回例4. 解: 上一页下一页返回同理, 上一页下一页返回这说明注:X与Y的边缘分布,一般不能确定联合分布. 分布的两个边缘分布都是一维正态分布. 即,二维正态第三节条件分布 1.二维离散型随机变量的条件分布律定义1: 上一页下一页返回上一页下一页返回例1 已知（X,Y）的联合分布律如下表所示 X Y 1/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8