[理学]概率论与数率统计第4章.ppt

3. 相关系数的基本性质 为了研究?XY的性质，考虑以X的线性函数a+bX来近似Y，以均方误差 e=E[(Y-(a+bX))2]=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y) (1) 来衡量近似的好坏程度，e越小说明近似程度越好，因此我们应取a，b使e取到最小值，下求使e最小的a，b （2） 这一步没有将a0,b0直接代入(1)式。也没有把a0,b0全代入，而是先代入a0，整理后再代入b0 。 定理 (1) | ?XY | ≤ 1 即 [ Cov (X,Y) ] 2 ≤ DX DY ; (2) | ?XY | = 1 的充分必要条件是存在 常数 a、b ，使得P(Y = a+bX ) = 1 。 证明 (1)由于e ≥0，所以(1-?2XY ）D(Y) ≥0，所以1-?2XY ≥0.即| ?XY | ≤ 1 (2) 若| ?XY | = 1 ，则 E{[Y-(a0+b0X)]2}=0。从而 故有 由方差的性质知 反之，若存在a*，b*使P{Y= a*+ b*X}=1即 P{Y-(a*+ b*X)=0}=1。所以 P{[Y-(a*+ b*X)]2=0}=1,故 E{[Y-(a*+ b*X)]2}=0,所以 所以 | ?XY | = 1 4. 随机变量的不相关 按照定义即它们之间的相关系数为0， 等价于协方差为0，因此“不相关”是比 “独立”弱的关系。即：独立一定不相关， 但不相关不一定独立。 “不相关”的等价形式 ?XY = 0 ? Cov (X,Y) = 0 ? E(XY) = (EX)(EY) ? D(X+Y) = DX + DY 例4.3.1 第三章讨论的随机取数的问题 计算 X、Y 的相关系数。 X Y 1 2 3 4 1 1/4 0 0 0 2 1/8 1/8 0 0 3 1/12 1/12 1/12 0 4 1/16 1/16 1/16 1/16 p? j 25/48 13/48 7/48 3/48 pi ? 1/4 1/4 1/4 1/4 E(XY) = 1×1×1/4 + 2×1×1/8 + 2×2×1/8 + … = 39/8 = 4.875 因此，协方差Cov (X,Y) = 4/8 = 0.5， 相关系数 ?X Y = 0.483887 。 □ 解. X、Y 的期望与方差计算比较简单， EX=2.5，DX=1.25；EY=1.75，DY=41/48。 对于E(XY)没有必要去求XY 的分布律。 利用随机向量函数的期望公式，有 练习4.2.1 续例4.2.1 ，甲乙射击技术如下： 需要利用分布律计算并比较两个概率 P (X＞Y)，以及 P (X＜Y) 已经知道平均来说甲的成绩比乙好，计算 方差能发现甲的成绩也比乙稳定(DY = 0.49)。 如果只射击一次，谁的成绩可能更好一些 ？ X 8 9 10 Y 8 9 10 p 0.1 0.3 0.6 p 0.2 0.5 0.3 4.2.2方差的基本性质 与数学期望的性质比较： E(a+bX) = a + b EX 平移改变随机变量期望，但不会改变方差 1. 随机变量线性变换的方差公式 设 a、b 是两个常数，则有 D(a+bX) = b2 DX ； 2. 独立和的方差等于方差的和 如果 X1、X2、…、Xn 相互独立，则 D(X1+X2+…+Xn) = DX1 + DX2 + … + DXn 与数学期望的性质比较： 任意随机变量和的期望等于期望的和 ； 独立随机变量乘积的期望等于期望的乘积。 3. 任意两个随机变量和的方差公式 D(X+Y) = DX + DY + 2E[(X - EX)(Y - EY)] 若X、Y相互独立D(X+Y) = DX + DY