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平衡的稳定性 §5-3 达朗贝尔原理 动静法 §5-3 刚体惯性力系的简化 动静法的应用 动静法的应用 解：取 ? =0 为系统的零势位 若： 平衡位置是稳定的。 例：系统如图所示，滑块的质量为m,杆长为L(不计质量)，当杆铅垂时弹簧无变形，求系统的平衡位置并分析其稳定性。 例：已知： ，求A、B 的约束力。 解：研究整体,受力分析与运动分析 附加动反力：由于运动引起的约束力 1、将惯性力向质心C简化 2、将惯性力向转轴A简化 3、将惯性力向杆上B点简化 A B 惯性力向质心C简化： A B 惯性力向转轴A简化： 思考题：已知均质杆长为 L，质量为m，角速度为零，角加速度为 ， A B 惯性力向转轴B简化： 如何确定惯性力合力的作用线？ A B 例：已知 L,m,初始时无初速度，求初始时杆的角加速度和约束力 问题： 求解该题有几种方法？ 方法一：动静法 解：受力分析、运动分析、添加惯性力 建立“平衡”方程 求解方程 方法三： 应用动能定理 和质心运动定理 方法二： 应用动量矩定理和质心运动定理 运动学关系： A B 例：图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为m，圆盘的半径为R，圆盘在地面上纯滚动，若板上作用在一个力F。求板的加速度。 F 应用动力学普遍方程 解：运动分析 系统自由度k=1 受力分析 虚位移分析 由动力学普遍方程得： 例 题 半径为r的光滑半球形碗，固定在平面上。一均匀棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为 第三章 解： 均质棒受到碗的弹力分别为 棒自身重力为 。 棒与水平方向的夹角为 设棒的长度为 由于棒处于平衡状态，所以棒沿 轴和 轴的和外力为零 ① ② 第三章 沿过 点且与 轴平行的合力矩为0。即： ③ 由①②③式得： 又由于 将⑤代入④得： ⑤ ④ 第三章 例题：设质量为m的复摆绕通过某点o的水平轴作微小振动，试求其运动方程及其振动周期，并加以讨论。 思路: 根据转动定律 求出振动动力学方程 求其运动方程及其振动周期 第三章 解 运动微分方程 由转动方程 周期 第三章 周期 与单摆所具有的形式很类似，所以说单摆是复摆的一个特例。 第三章 解 选取均匀杆模型进行估算， 则自然步频率等于杆的固有频 率时（共振）最舒服，如图： O mg l θ 取l为1米，则步频率 为1.62秒 例 每个人行走时都会有一种自然步频，以这种步频行走很 舒服，而试图以较快或较慢的步频行走会感到不舒服。略去 膝关节的效应，试用一种最简单的模型来估算该步频。 由转动方程 第三章 O A B ? ? 例：已知OA杆的角速度?，求图示瞬时滑块B的速度和 AB杆的角速度。 解：研究AB杆，取A为基点 （1）式在AB杆上投影 （1）式在OA杆上投影 第三章 解： 例：曲柄OA以匀角速度? 转动。求当? =60o时，滑块B的速度及连杆AB的角速度。 研究连杆AB： （1）速度瞬心可以位于平面运动刚体之上，也可以位于其延展体上。 [讨论] 第三章 研究连杆AB： （2）当? =90o时，滑块B的速度及连杆AB的角速度为多少？ P？ 该瞬时，连杆AB的速度瞬心P在无穷远处， A为基点，杆AB上任一点M的速度 该瞬时AB上各点的速度相等。 各点加速度是否相等? 该瞬时图形上各点的速度分布如同图形作 故图形在该瞬时的运动称为瞬时平移。 平移时的一样。 第三章 例: 沿直线轨道作纯滚动的车轮，其半径为R，轮心的速度为u，求轮上A、B、C、D的速度。 解： 车轮与轨道的接触点A为速度瞬心。 车轮的角速度为 速度瞬心法的特点： （1）计算简便； （2）直观解了平面运动图形上各点的速度分布。 第三章 例题 长为 的直杆，A端搁在水平地面上，B端靠在墙上，已知A端的水平速度为 ，求杆与竖直方向成 角时B端的速度和杆的角速度。 解： 瞬心法： 方向y轴负方向 第三章 基点法求速度 第三章 例 无滑下滚圆柱体的加速度和约束反力。 C O’ mg N f O y xC 解 （A）机械能守恒定律 动能 势能 机械能 求微商，得 实心圆柱体 空心圆柱体 不能求约束反力 第三章 质心C点的平动方程： 绕质心C点的转动方程： 联立方程可求得： C O’ mg N f O y xC 解 （B）运动定理 第三章 解：这个是一般运动问题 [例] 当飞机在空中以定值速度V沿半径为R的水平圆形 轨道C转弯时，求当螺旋桨尖端B与中心A的联线和沿垂线成 θ角时，B点的速度及加速度。