[理学]第16讲 二次规划.ppt

第六章 二次规划quadratic program 二次规划简介 等式约束二次规划 方法1 直接变量消去法 方法2 Lagrange乘子法 fval =-1.0000 exitflag =4 output = iterations: 1 algorithm: large-scale: projective preconditioned conjugate gradients f irstorderopt: 0 cgiterations: 1 message: Optimization terminated: local minimum found; the solution is singular. lambda = eqlin: 1.0000 ineqlin: [ ] lower: [ ] upper: [ ] * 模型的建立 设投资的期限是一年，可供选择的金融资产数为n。设此n中 金融资产的年收益为随机变量 。由于我们 主要关心投资的分配比例，不妨设投资总数为1个单位，用 于第j中投资的资金比例为 ， 令 称为投资组合向量，显然应有： 投资一年的收益 也是一个随机变量，期望收益为 马库维茨建议用随机变量 （组合投资收益）的方差作为投资风险的度量，即 设随机向量的数学期望为 ， 自协方差矩阵为 那么 投资者一般希望收益越大越好，风险越小越好。但收益大和风险小往往是两个有矛盾的目标，因此马库维茨将问题归结为：将风险控制在一定水平之下，选择投资组合使期望收益最大；或者在收益不低于某个水平前提下使投资的风险最小。这样就有以下两个马库维茨组合投资优化模型。 其中r是预定的风险水平. 第一个模型是控制风险, 优化收益模型 第二个模型是控制收益，极小化风险的模型 还可将收益和风险指标进行加权平均，得到如下模型 其中， 是一个适当选取的常数. 由于在 中包含了各分量的二次项，这三个模型均为二次规划模型. 模型的求解和应用 上述三个模型中均需要用到随机变量 的数学期望和协方差矩阵，这可以通过对前若干年的各资产收益的统计分析获得.而这些二次规划问题在系数确定后可用软件（如LINDO/LINGO）求解. 补充内容：二次规划问题Matlab求解 二次规划问题（quadratic programming）的标准形式为： sub.to 其中，H、A、Aeq为矩阵，f、b、beq、lb、ub、x为向量 其它形式的二次规划问题都可转化为标准形式. MATLAB5.x版中的qp函数已被6.0版中的函数quadprog取代。 函数 quadprog 格式 x = quadprog(H,f,A,b) %其中H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值. x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq,beq满足等约束条件. x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) % lb,ub分别为解x的下界与上界. x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %x0为设置的初值 x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定的优化参数. [x,fval] = quadprog(…) %fval为目标函数最优值. [x,fval,exitflag] = quadprog(…) % exitflag与线性规划中参数意义相同. [x,fval,exitflag,output] = quadprog(…) % output与线性规划中参数意义相同. [x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(…) % lambda与线性规划中参数意义相同 . 例 求二次规划的最优解 max f (x1, x2)=x1x2+3 sub. to x1+x2-2=0 解：化成标