[理学]第一章 概率论的基本概念.ppt

* * * * * * * * * * * 9月13日 * * * * * * * * * * * * * * * * * * 9月6日 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 9月12日 * * * 练习题 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年提出 * * * * 推广: P(AB)0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)0, 则有乘法公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1). * * 例4 设盒中有a(a2)个黑球，b个白球，连续从 盒中取球3次，每次取一球，取后不放回，求 第1,3次取到黑球第2次取到白球的概率。 解 以Ai 表示事件“第i次取到黑球”(i=1,2,3), * * 例5. 透镜第一次落下打破的概率为0.5,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为获0.7, 若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为0.9, 试求透镜落下三次而未打破的概率. * * (三) 全概率公式和贝叶斯公式: 1. 样本空间的划分 S B1 B2 B3 ... Bn * * (1) 若B1,B2,…,Bn是样本空间S的一个划 分,则每次试验中, 事件B1, B2, …, Bn 中必 有一个且仅有一个发生. * * 2. 全概率公式: A B1 B2 B3 Bn S ... 称上式为全概率公式. * * 再利用乘法定理即得 由概率的有限可加性,得 分析： * * 例6 一批麦种中混有2%的二等种、1%的三等种、1%的四等种。一、二、三、四等种的发芽率为98%、95%、90%、85%，现取一粒种子，问它能发芽的概率是多少？ 解 设表示Bi“取到一粒种子属i等种”(i=1, 2,…,4)，显然Bi构成S的一个划分，设A表示 “取到一粒种子能发芽”，则由全概率公式得 * * 例7 甲箱中装有3只红球和2只白球,乙箱中2只红 球和2白球，从甲箱中取两只球放入乙箱中，再 从乙箱中取1球,求A:“从乙箱取得白球”的概率. 解 设Bi={从甲箱中取出i只白球},i=0,1,2.则B0,B1,B2构成样本空间的一个划分。有 由全概率公式 * * 贝叶斯公式: 由乘法公式: P(ABi) =P(A|Bi)P(Bi). 由全概率公式: P(A) 于是可得结论. * * 贝叶斯公式的直观意义为：若事件B1,B2,…,Bn是引起事件A发生的n个原因，它们的概率P(Bi)(i=1,2,…,n)是在对A观察前就已知的，因此通常叫做先验概率。 如果在一次试验中，事件A（结果）发生了，那么反过来问：A的发生是由第i个原因引起的概率P(Bi|A)是多少？这就是贝叶斯公式解决的问题。通常称P(Bi|A)(i=1,2,…,n)为后验概率。 全概公式是“由因导果”的一个过程，贝叶斯公式则是“由果溯因”的一个推断公式。 * * 解 由贝叶斯公式可得 同理 例6（续）若取一粒种子做发芽实验，结果发芽 了，问它是一、二、三、四等种的概率是多大？ * * 例7. 某电子设备厂所用的晶体管是由三家元件制 造厂提供的,数据如下: 元件制造厂 次品率 提供的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 (1) 任取一只晶体管,求它是次品的概率. (2) 任取一只,若它是次品,则由三家工厂 生产的概 率分别是多少? * * * * 例8 对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好 时, 产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时, 其合格率为30%, 每天早晨机器开动时机器调整良 好的概率为75%, 试求已知某日早上第一件产品是 合格品时, 机器调整得良好的概率是多少? 解: 设A为事件“产品合格”, B为事件“机器调整良好”, 由已知, P(A|B) =0.9, =0.3, P(B) =0.75, =0.25, 所求的概率为P(B|A). 由Bayes公式： P(B|A)= =(0.9?0.75)/(0.9 ?0.75+0.3 ?0.25)