[理学]第一章波函数和薛定谔方程.ppt

(2) 波函数的物理意义 (4)波函数的归一化 作业： 1、对于用 描述的三粒子体系，求测得粒子1在(r1,r1+dr1)中的概率。 （波函数已归一化） 2、设粒子的波函数为 （波函数已归一化）,求 (1)在(x,x+dx)范围内找到粒子的几率： (2)在(y1,y2)范围内找到粒子的几率： (3)在(x1,x2)及(z1,z2)范围内找到粒子的几率： 1.2.3 能量本征方程--------- 不含时薛定谔方程 将能量公式变为算符公式: 体系由N个粒子组成（N1） 体系能量为： 将算符公式同时作用在多粒子波函数 Ψ(r1,r2,…,t)上，这样就得到多粒子的薛定谔方程: §1.3、量子态的叠加原理 态叠加原理是量子力学中一个很重要的原理，这一节先作一些初步介绍，随着学习量子力学内容的不断深入，会不断加深对态迭加原理的理解。 式右含有ψ及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域τ是任意选取的，所以S是任意闭合面。要是积分有意义，ψ必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。 概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。 2.根据粒子数守恒定律 : （2）波函数标准条件 1. 根据Born统计解释 ω(r, t) = ψ*(r, t) ψ(r, t)是粒子在t时刻出现在 r点的几率，这是一个确定的数，所以要求ψ(r, t)应是 r, t的单值函数且有限。 由下列两个定态波函数计算几率流密度， (1) (2) 从所得结果证明： 是沿x轴正方向传播的平面波； 是沿x轴反方向传播的平面波。 例题4 (2)、 表示沿x轴反方向传播的平面波。 所以 解(1)、 所以 表示沿x轴正方向传播的平面波。 现在让我们讨论 有外场情况下的定态 Schrodinger 方程： 令： 于是： V(r)与t无关时，可以分离变量 代入 等式两边是相互无关的物理量，故应等于与 t, r 无关的常数 该方程称为定态 Schrodinger 方程，ψ(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻ψ(r,0)的定态波函数。 此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。 空间波函数ψ(r)可由方程 和具体问题ψ(r)应满足的边界条件得出。 定态有两个含义： A. 波函数由空间部分函数与时间部分函数相乘 时间部分函数是确定的，为： B．E具有确定值 和具体问题 应满足的边界条件得出。 空间波函数 可由定态Schr?dinger方程 （1）Hamilton 算符 二方程的特点：都是以一个算符作用于Ψ(r, t)等于EΨ(r, t)。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。 是相当的。这两个算符都称为能量算符。 也可看出，作用于任一波函数Ψ上的二算符 再由 Schrodinger 方程： （2）能量本征值方程 （1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数 学物理方法中的本征值方程相似。 数学物理方法中：微分方程 + 边界条件构成本征值问题； 将 改写成 （2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理 方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。因此在 量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。 （3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写 的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值， 这 个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。 （三）求解定态问题的步骤 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数Ψ( r, t) 和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下： （1）列出定态 Schrodinger方程 （2）根据波函数三个标准条件求解能量 E 的本征值问题，得： （3）写出定态波函数即得到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数 （4）通过归一化确定归一化系 数 Cn 1.2.4 定态与非定态 若在初始时刻（t=0) 体系处于某一个能量本征态 ，则如式 的波函数所描述的态，