[理学]第一节、三角函数的基本概念.ppt

第一节　三角函数的基本概念 分析　根据弧长公式和扇形面积公式，分别求(1)中的弧长和面积．用半径表示(2)中扇形面积，根据解析式的特点，求最大值． 解　 规律总结　利用角的弧度数表示弧长公式和扇形面积公式时，首先要把角度化为弧度．该问题中，扇形的面积是关于半径的一元二次函数，用一元二次函数的观点求问题(2)中的最大值． (12分)已知角α终边上一点P到x轴的距离和到y轴的距离之比为3∶4， 求2sinα＋cosα的值． 分析　根据点P的性质，设出该点的坐标，用三角函数的定义求角α的值，再求和。 规律总结　(1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论． (2)若角α已经给定，那么不论点P选择在α的终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角α终边上一点坐标已经确定，那么根据三角函数的定义，角α的三角函数值也都是确定的． 变式训练4 【解析】　 1．利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么，sinα＝y，cosα＝x， tanα＝ (x≠0)． 2．常见的弧长、弧度数、角度的对应关系 设半径为r的圆的圆心与原点重合，角α的始边与x轴的正半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B，则： 3.弧度制的作用 引入弧度之后，建立了角和实数之间的一一对应关系，为三角函数利用坐标定义奠定了基础．由任意角的三角函数定义，确定了各个三角函数的一系列性质，从而简化了一些相关计算的表达形式，如弧长公式和扇形的面积公式等． 4．终边相同的角的简单性质 (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍． 5．关于三角函数线 三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值，三角函数线的数量即为相应的三角函数值．利用它可以直接比较或证明三角函数值的大小． 6．各象限角的集合表示 错解分析　上述解答忽视了一个事实，即不等式的运算次数越多，所得式子的范围可能越大．上述解题过程中，分别求出α，β的范围，再求2α－β的范围，实施了过多的不等式运算，因此扩大了2α－β的范围． 正解　设2α－β＝A(α＋β)＋B(α－β)(A，B为待定系数)，则2α－β＝(A＋B)α＋(A－B)β， ∴ 解得 * (1)如果 是第三象限角，那么－ ，2 的终边落在何处？ (2)写出终边在直线y＝ x上的角的集合． (3)若角θ的终边与 角的终边相同，求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角． 角的集合表示 解　(1)由α是第三象限角得：π＋2kπ＜α＜ ＋2kπ? － －2kπ＜－α＜－π－2kπ((k∈Z)， 即 ＋2kπ＜－α＜π＋2kπ(k∈Z)， ∴角－α的终边在第二象限； 由π＋2kπ＜α＜ ＋2kπ， 得2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)， ∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴上． 分析　由角的定义和集合表示的规则，表示相应范围内的角，再由此判断角的属性. (2)在(0，π)内终边在直线y＝ x上的角是 ， ∴终边在直线y＝ x上的角的集合为 . (3) 依题意得 ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与相同的角为 规律总结　表示某象限内的角或终边落在某条直线上的角，需要正确写出终边相同的角的表达式，特别是对参数k∈Z的限制．有时需要进行集合的交或并运算，使表达式得以化简．求集合内的某些角，有时需要对k∈Z具体赋值． 　变式训练1 (1)写出终边在y轴上的角的集合． (2)已知角α是第二象限角，试确定 所在的象限． 【解析】　(1)终边落在y轴上的角的集合为 (2)∵角α是第二象限角， ∴ 2 是第三、四象限角或角的终边 在y轴非正半轴上， 是第一或第三象限角 . (1)cos250°； ； (3)tan(－672°)； . 三角函数值的符号判定 确定下列三角函数值的符号 分析　先确定角所在的象限，再根据三角函数的符号法则确定符号． 解　(1)∵250°是第三象限角，∴cos250°＜0. (2)∵ 是第四象限角， . (3)∵－672°＝－2×360°＋48°， ∴－672°是第一象限角，∴tan(－