[理学]第七章 留数定理及其应用.ppt

第七章 留数定理及其应用 ;7.1 留数定理 ; 设光滑的简单闭合曲线 C 是区域 G 的边界，若除了有限个孤立奇点 bk ( k =1, 2, n ) 外，函数 f(z) 在 G 内单值解析，在 上连续，且 C 上没有奇点，则 ;如图，围绕每个奇点 bk 作闭合曲线 gk ，使 gk 均在 G 内，且互不交叠，由复连通区域的柯西定理知 ;复连通区域的柯西定理＋洛朗展开系数公式;设 z = b 是 f(z) 的 m 阶极点，则在 b 点的邻域内;常见情况： ， P(z)、Q(z) 在 b 点及其邻域内解 析， z = b 是 Q(z) 的一阶零点。 Q(b) = 0， Q’(b) ≠ 0， P(b) ≠ 0，则;小结：求留数的方法; 例题; 例题;所以 是 的三阶极点。;;;为一阶极点， 为二阶极点;可将 在 展开，;只关心负一次幂系数 ; 显然，A、B、C 正好是 f(z) 在 一??极点 z = 1，z = 2，z = 3 的留数，所以;为 的一阶极点，;补充定理： 函数上所有孤立奇点的留数之和为0;证明: 现在做一个区域，将所有有限奇点 囊括进去。则该区域外为无穷远点 的邻域 则;2）在 C’ 内只有 ∞ 可能是 f(z) 的奇点，作变换 则;此结果与有限远处奇点的留数不同之处为： 1）形式上多了一个负号； 2） z－1 是 f(z) 在∞点展开的正则部分（绝对收敛的负幂项），即 使∞点不是奇点，resf(∞) 也可以不为 0；反之，即使∞点是奇 点，甚至为一阶极点， resf(∞) 也可以为 0。;作变换 ，即 ， ， 则; 例题;设 ，则 ，;在 内，函数 f(z) 只有一个一阶极点;可见 z = 0 是被积函数 在 内的唯一奇 点，是 2n + 1 阶极点，若求 2n 阶导数则很复杂，故将 f(z) 在 中展开;由二项式定理知; 的奇点 均为一阶极点， 只有 在 内;; 例题; 有一阶极点 只有 在 内; 在上半平面补上以圆点为圆心 R 为半径的弧 CR，则 [-R, R]+CR 形成闭合围道，应用留数定理计算闭合围道积分后令 R→0。; 例题;因为;可见，无穷积分的被积函数 f(z) 必须满足： 1）在上半平面除有限个孤立奇点外，处处解析，实轴上无奇点； 2）在 内，当 时， 一致的趋于 0。 即 ，使当 时，; 例题;（引理二）;在上半平面内有两个一阶极点 和;;只要知道 ，那么分别比较实部和虚部即可。; 设 ，当 时，Q(z) 一致的趋近于 0，则;∵ 时，;当 f(x) 为偶函数时， f(x)cospx 为偶函数，f(x)sinpx 为奇函数。;为偶函数;;非奇非偶;所以;为奇函数;所以;为奇函数; ⊙ 主值积分 解析函数 f(x) 在有界区域内某点 x0 无界，称