[理学]第三章 MATLAB线性方程组.ppt

§ 3.0预备知识 一、对角阵与三角阵 1、对角阵： diag(A) 提取m×n的矩阵A 的主对角线上元素，生 成一个具有min(m,n)个元素的列向量 diag(A,k) 提取第k条对角线的元素 diag(V) 设V为具有m个元素的向量，将产生一个以向量V的元素为主对角线元素的m×m对角矩阵diag(V,k) 产生一个以向量V的元素为第k条对角线的元素的n×n(n=m+k)对角阵 2、 矩阵的三角阵 下三角矩阵 tril(A) 提取矩阵A的下三角阵 tril(A,k) 提取矩阵A的第k条对角线以下的元素 上三角矩阵 triu(A) 提取矩阵A的上三角矩阵 triu(A,k) 提取矩阵A的第k条对角线以下的元素 pascal(6) ans = 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 56 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 252 例 求(x+y)5的展开式。 pascal(6)次对角线上的元素1，5，10，10，5，1即为展开式的系数。 三、向量和矩阵的范数 norm(V)或norm(V,2) 求向量V（或矩阵V )的2范数 norm(V,1) 求向量V（或矩阵V）的1范数 norm(V,inf) 求向量V（或矩阵V)的∞范数 例 已知V，求V的3种范数。 命令如下： V=[-1,1/2,1]; v1=norm(V,1) %求V的1范数 v2=norm(V) %求V的2范数 vinf=norm(V,inf) %求V的∞范数 例 求矩阵A的三种范数 命令如下： A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19]; a1=norm(A,1) %求A的1—范数 a2=norm(A) %求A的2—范数 ainf=norm(A,inf) %求A的∞—范数 四、 矩阵的逆与伪逆 1、 矩阵的逆（后面研究完Gauss消去法后还将给出求逆的方法） 求方阵A的逆可用 inv(A) 注意：该函数也适用于符号变量构成的矩阵的求逆 例 用求逆矩阵的方法解线性方程组。 命令如下： A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27]; b=[5,–2,6]; x=inv(A)*b 一般情况下，用左除x=A\b比求矩阵的逆的方法更有效(因为A奇异或接近奇异时，用inv(A)可能出错) 2、 矩阵的伪逆 pinv(A) 若A不是一个方阵，或A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵A’同型的矩阵B，使得： A·B·A=A, B·A·B=B 此时称矩阵B为矩阵A的伪逆。 例 求A的伪逆，并将结果送B A=[3,1,1,1;1,3,1,1;1,1,3,1]; B=pinv(A) 例 求矩阵A的伪逆 A=[0,0,0;0,1,0;0,0,1]; pinv(A) 五、 求方阵A的行列式: det(A) 例 用克莱姆(Cramer)方法求解线性方程组(不建议使用） 程序如下： D=[2,2,-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,4;3,3,-2,2]; %定义系数矩阵 b=[4;6;12;6]; %定义常数项向量 D1=[b,D(:,2:4)]; %用方程组的右端向量置换D的第1列 D2=[D(:,1),b,D(:,3:4)]; %用方程组的右端向量置换D的第2列 D3=[D(:,1:2),b,D(:,4:4)];%用方程组的右端向量置换D的第3列 D4=[D(:,1:3),b];%用方程组的右端向量置换D的第4列 DD=det(D); x1=det(D1)/DD; x2=det(D2)/DD; x3=det(D3)/DD; x4=det(D4)/DD; [x1,x2,x3,x4