[理学]第三章 多维随机变量.ppt

第三章 多维随机变量及其分布 多维随机变量及其联合分布 边际分布 随机变量的独立性 多维随机变量函数的分布 多维随机变量的特征数 条件分布 3.1多维随机变量及其分布 二维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量及其分布列 二维连续型随机变量及其密度函数 两个常见的二维分布 3.1多维随机变量及其分布 定义3.1.1 若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的随机变量，则称(X, Y) 是二维随机变量. 同理，我们称 n 个定义在同一个样本空间上的随机变量的整体 X=(X1, X2 , …，Xn )为 n 维随机变量 或 n 维随机向量. 定义3.1.2 对任意实数 x 和 y, 称 3.1多维随机变量及其分布 二维随机变量分布函数的特征性质 1.(单调不减性) 3.1多维随机变量及其分布 定义3.1.3 如果二维随机变量(X, Y)只取有限个或可列个数对 ， 则称 (X, Y)为二维离散随机变量，称 为的联合分布列。也可用表格形式表示 3.1多维随机变量及其分布 联合分布列的基本性质 1. 3.1多维随机变量及其分布 定义3.1.3 如果二维随机变量(X, Y) 分布函数为 F(x, y)，若存在非负可积函数 p(x, y)，使得 两个常见的二维分布 若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度为： 3.1多维随机变量及其分布 二维正态分布 3.2 边际分布 二维随机变量边际分布函数 二维随机变量离散型边际分布列 二维随机变量连续型边际密度函数 3.2 边际分布 定义3.2.1 巳知 二维随机变量(X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)， 3.2 边际分布 定义3.2.2 巳知 二维连续型随机变量(X, Y) 的联合密度函数为p(x, y) 3.3 随机变量的独立性 二维随机变量的独立性 二维离散型随机变量的独立性 二维连续型随机变量的独立性 3.3 随机变量的独立性 定义3.3.1设 及 ， 分别是（ ）的分布函数和边际分布函数，若对于所有的 有 即 则称随机变量 是相互独立的。 3.4 多维随机变量函数的分布 和的分布 最大值、最小值分布 3.4 多维随机变量函数的分布 定理3.4.1 3.4 多维随机变量函数的分布 二项分布的可加性 3.4 多维随机变量函数的分布 定理3.4.1 设 是相互独立的 个随机变量，其分布函数和密度函数为 ，若记 3.5 多维随机变量的特征数 数学期望与方差的性质 协方差 相关系数 3.5 多维随机变量的特征数 定义3.5.1 数学期望与方差的性质 1.E(X+Y)=E(X)+E(Y) 3.5 多维随机变量的特征数 定义3.5.2 3.5 多维随机变量的特征数 定义3.5.3 3.6 条件分布与条件期望 条件分布 条件期望 3.5 多维随机变量的特征数 定义3.6.1 对二维离散随机变量(X, Y),称 为在给定 条件下的 条件分布列。 同理， 在给定 条件下 的条件分布列为 3.5 多维随机变量的特征数 定义3.6.2 对二维连续随机变量(X, Y),称 为在给定 条件下的 条件分布分布函数和条件密度函数。 同理， 在给定 条件下 的条件分布函数和条件密度函数为 3.5 多维随机变量的特征数 定义3.6.3 贵州师大数计学院概率论教学组 概 率 论 精 品 课 F(x, y) = P( X ? x, Y ? y) 为二维随机变量(X, Y) 的联合分布函数。 几何解释 F(x, y) 表示随机点(X ,Y )落在以(x, y) 为顶点，且位于该点左下方的无穷矩形内的概率. (x, y) x y 2.(有界性) 0 ? F(x, y) ? 1，且 F(??, y) = F(x, ??) =0， F(+?, +?) = 1. 3.（右连续性） F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续. 4.（非负性） 当ab, cd 时，有 F(b, d) ? F(b, c) ? F(a, d) + F(a, c) ? 0. P(aX?b, cY ?d)= F(x, y) 关于 x 和 y 分别单调增. pij = P(X=xi, Y=yj)， i, j=1, 2, ..., p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … …