[理学]第二章、行列式1.ppt

第 二 章 行列式的概念 n 阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开定理 行列式的计算 再论可逆矩阵 引入二阶行列式的定义后，二元一次线性方程组的解可以用二阶行列式表示。 1.概念的引入 2.n阶行列式的定义 利用分块矩阵的广义初等变换，可以证明以下结果： (2) 设对n－1阶范德蒙德行列式结论成立，来证对n阶范德蒙德行列式结论也成立. n-1阶范德蒙德行列式 证毕. 有的行列式可以利用范德蒙行列式的结论进行计算 例4 计算 例5　计算 例6　证明 证明: 对阶数n用数学归纳法。 §3 行列式的性质 记 行列式DT 称为行列式D的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等 。 证： 记 即bij＝aji (i，j＝1，2，…，n) 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。 证 交换第p、q两列，得行列式 说明： 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 对于D中任一项 在D1中必有对应一项 与 只经过一次对换 所以对于D中任一项，D1中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D与D1的项数相同。 推论 若行列式有两行（列）元素对应相等，则行列式为零。 性质3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。 性质4 行列式中若有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零。 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面。 性质5 若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和 则行列式D等于下列两个行列式之和： 例如 性质6 把行列式某一行（列）的元素乘以数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。 以数k乘以第i行上的元素加到第j行对应元素上，有 例1 计算四阶行列式 解： 例2 计算四阶行列式 §4 行列式按行（列）展开定理 背景：低阶行列式比高阶行列式计算要简便，能否把高阶行列式转化成低阶行列式？如何转化？ 以三阶行列式为例，容易验证： - + 可知：三阶行列式可以转化为二阶行列式 则 Aij叫做元素aij的代数余子式。 显然，Aij与行列式中第i行、第j列的元素无关。 令 先看下面两个定义： 例如：三阶行列式中元素 的余子式 = 如：三阶行列式中元素 的代数余子式 定义 设 ， 划去元素aij所在的行和列，余下的元素按其原有的位置构成的（n－1）阶行列式叫做元素aij的余子式，记为Mij 。 引理 n阶行列式D中，如果其中第i行元素除aij外全部为零，则行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即D＝aijAij 证 先证i＝1，j＝1的情形 设 D 的第 i 行除了 外都是 0 . 把 D 的第 行依次与第 行，第 行，······ 第2行，第1行交换；再将第 列依次与第 列 第 列，······， 第2列，第1列交换，这样共经过 次交换行与交换列的步骤. 对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置，即可得到结论。 得 例1：计算四阶行列式 定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 证： （按行展开） （按列展开） 例 1 计算行列式 解 由定理3，按第一行展开 得 也可以按其他行（或列）展开 说明：利用上述方法计算行列式也称为降阶法 例2 计算 解： 例3 计算行列式 (加边法) 解 当x＝0 或y＝0时，显然D＝0， 现假设x≠0，且y≠0，由定理知 推论 行列式一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 证 当i?j, 将式中ajk换成aik(k=1,2,…,n),可得 同理可证 代数余子式的重要性质: 例4 已知 求 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或 运算性质: 方阵的行列式 下面证明 设 定理4 证明: 推论2 设 推论1 设 证明:构造一个行列式 对上述行列式作行变换，将第n+1行的a11倍，第n+2行的a12倍，…第2n行的a1n倍加到第一行，得 定理5 设A , B是 n 阶方阵，则 再依次将第n+1行的ak1倍(k=2,3, …,n)，第n+2行的ak2倍，…第2n行的akn倍加到第k行，得 由定理4 的推论得 证明完毕。 注：设A , B是 n 阶方阵, 则 思考题 求第一行各元素的代数余子式之和 思考题解答 解 第一行各元素的代数余