63复数域上二次型的规范形.ppt

§6.3复二次型 二次型的秩 复二次型 问题提出：二次型f (x1, x2, x3)=2x1x2+2x1x3－6x2x3经过不同的线性替换，其结果不同 → X=C1W 下，f = 2w12－2w22 + 6w32； X=C2Y 下，f = 2y12－2－1y22 +2×3－1y32 . 其中 回顾上一节内容，有以下事实成立： 同一二次型在不同线性替换下的矩阵合同. 问题： 同一二次型 f 在恰当的可逆线性替换下的矩阵是对角矩阵，但不同的这样的可逆线性替换下的对角矩阵不同，即所化成的标准型不唯一 . 一 二次型的秩 *1 A，B(∈Mn(P))合同 ? 存在可逆矩阵C，B = C/AC → 因C可逆，故 r(A) = r(B) ，即合同矩阵的秩相等； *2 原二次型 X/AX 经 X = CY (C可逆) 化成新二次型Y/ BY, 则A，B合同 → 新、旧二次型的矩阵秩相同，即可逆的线性替换不改变原二次型的矩阵的秩，该秩刻画了二次型的一种本质属性 → 引入以下概念： 1. 定义： 二次型 f (x1, x2, …, xn) = X/AX 中矩阵A的秩称为二次型 f 的秩； 2. 性质： 1) 可逆线性替换不改变二次型的秩； 二 复二次型 （复数域C上的二次型） 1. 规范型： z12 + z22 + … + zr2 称为复二次型的规范型. 2. 定理3 任一复二次型经适当的可逆线性替换可化成 规范型，且规范型唯一. * 该定理的矩阵语言描述：任一秩为 r 的复对称矩阵合同于一个对角矩阵 证明： 设复二次型 f = X/AX , r(A) = r → 存在可逆线性替 换X= C1Y(C1可逆) , 使f = X/AX = (C1Y)/A(C1Y) =Y(C1/AC1 )Y = d1y12 + … + dryr2 (di=1,…,r, 1≤r≤n) → 取可逆线性替换 3. 两复对称矩阵合同的充要条件是其秩相等 作业： P146习题1,2,3 * * P上n元二次型全体 Mn (P) A f (x1, …,xn) X=CY B=C/AC B C=?时，B= D？ X=C1W B1 n元二次型全体 Mn(P) A f (x1,…, xn) X=C1W D1 D2 X=C2Y 问题：如何处理，可将二次型所化成的标准型唯一确定？ (复对称矩阵按合同关系可分为n+1个不同的类)； 复二次型共有n+1个不同的类型,其秩为决定因素. *