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第二章 图形变换 计算机图形学的基础理论知识 第一节??? 矩阵及其运算一、矩阵的基本概念 二、矩阵的运算  1. 加法和减法 运算条件：两个矩阵的行和列都相同。 运算原则：每对对应元素实行加法或减法。 如： 二、矩阵的运算  2．乘法 矩阵乘法实例 一个m×n阶矩阵乘以一个n×q阶矩阵产生一个m×q阶矩阵。 矩阵乘法规则 适应结合律 ：A(BC)=(AB)C 适应分配律：A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC 交换律不成立 ： AB≠BA 在进行级联（矩阵连乘）时，特别注意矩阵的前后次序 。 第二节 二维图形的矩阵变换 变换矩阵 矩阵 二维图形变换程序 画一个的矩形，键入不同的A、B、C、D值，观看其对图形的影响。 二维图形变换程序（续） 二维图形变换程序（续） ? 二维图形变换程序（续） 一、恒等变换 二、比例变换 三、反射变换 1．对Y轴的反射 2．对X轴的反射 变换矩形为 3．对45°轴的反射 4. 对-45°轴的反射 变换矩形为 5. 对原点的反射 变换矩形为 四、错切变换1．沿X方向的错切 变换矩形为 沿X正负方向的错切 2．沿Y方向的错切 变换矩形为 五、旋转变换 平面图形的旋转，是指图形绕坐标原点旋转一个θ角度。此时 变换矩形为 旋转变换实例 将程序稍作修改： 用ZJ表示旋转角θ，将数据输入改为： printf(ZJ=); scanf(%f,ZJ); A=COS（ZJ）； B=SIN（ZJ）； C=-B；D=A 输入旋转角ZJ，即可 按要求画出图形了。 六、平移变换及齐次坐标 平移变换是二维变换中最基本的一种，但是，一般的矩阵不能完成平移变换。原因是平移为 平移变换矩阵 平移变换矩阵为 二维图形的变换矩阵 前面所讲的几种变换 齐次坐标 用三维向量表示二维向量或者说用n+1维向量表示一个n维向量的方法，称为齐次坐标表示法。 二维变换图形的性质 前面所讲比例、反射、错切、旋转、平移等变换都具有仿射变换的性质。即变换前后的图形之间仍保持： 第三节 组合变换 一、平面图形绕任意点旋转的变换 平面图形绕任意点旋转的变换矩阵T 平面图形绕任意点旋转的变换实例 例 使三角形A(6，4) ，B(9，4)， C(6，6)绕点P(5，3)旋转60°，求变换后的图形。 二、平面图形以任意点为中心的比例变换 我们前面所讲的比例变换，是专指以原点为中心的比例变换。如果以任意点为中心进行比例变换，图形不仅大小或形状发生了变化，而且其位置也随比例发生了变化， 以任意点为中心的比例组合变换步骤 （1）将比例中心P(m，n)(即变换后的不动点)平移到原点，图形随之一同平移。这可以用一个平移矩阵来实现，平移量X方向为-m，Y方向为-n。 （2）将平移后的图形按要求的比例进行缩放变换，这可用一个比例变换矩阵来实现。 （3）再将变换后的图形移回原位置，即将比例中心P移回原处。这用一个平移矩阵来实现，平移量X方向为m，Y方向为n。 图示上述步骤 平面图形以任意点为中心的比例变换矩阵T 以任意点P(m，n)为中心的比例变换矩阵应为： 平面图形以任意点为中心的比例变换实例 对图形ABCD进行比例变换，比例因子A=D=2，并要求变换后点D(2，2，1)位置不变，求变换后的图形。 很多变换是不能用上述的某个矩阵进行单一的变换来实现的，而要用几个变换组合起来方可完成，这种变换称为组合变换或级联变换。 1) 将旋转中心点P(m，n)移到原点，原图形随之一起平移，这可用一个平移矩阵来实现，平移量X方向为-m，Y方向为-n。 一般情况下图形绕平面上任意点P(m，n)的旋转，可按下述步骤进行： 2) 绕原点旋转所需要的转角θ，这用一个旋转矩阵来实现。 3) 将旋转后的图形再移回原位置，这用一个平移矩阵来实现，平移量为m，n。 三个变换矩阵T1，T2，T3的级联，就是平面图形绕任意点旋转的变换矩阵T。 平面图形绕任意点旋转的变换 这样只要知道了旋转中心的坐标（m，n）和旋转角θ即可进行图形变换。 以任意点P(m，n)为中心的比例变换则较好地解决了定位问题。 * * 说明： 1）m×n个数排成行列的数表叫做m×n阶矩阵，当m