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线性代数 主讲教师：王琛晖 厦门理工学院数理系 第一章 行列式 §1.1二阶与三阶行列式 一、二阶行列式的引入 二、三阶行列式 §1.2 n阶行列式 一、相关概念和定理（排列和逆序） 二、n阶行列式 2.n阶行列式的定义 课堂练习 例 选择 i 和 k ，使 成为5阶行列式中一个带负号的项 解 其列标所构成的排列为： i 5 2 k 3 若取 i = 1，k ＝ 4， 故 i = 4，k = 1 时该项带负号。 可将给定的项改为行标按自然顺序，即 则 ? (1 5 2 4 3) = 4，是偶排列， 该项则带正号， 对换1，4的位置， 则 4 5 2 1 3是 奇排列。 教材：《线性代数》（第三版）赵树嫄主编 中国人民大学出版社 课件制作人：厦门理工学院数理系 王琛晖 用消元法解二元线性方程组 1.定义的引出 方程组有唯一解为 由方程组的四个系数确定. 即 主对角线 副对角线 对于二元线性方程组 系数行列式 2阶行列式的对角线法则 2. 二阶行列式的定义 例 解 3.例子 例 解 1.定义 记 .列标 行标 2.三阶行列式的计算 对角线法则 说明1 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明2 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 例 解 按对角线法则，有 3.例子 例 解 方程左端 1.排列 由n个不同数码1，2，…，n组成的有序数组，称为一个n级排列，用 表示。 例：2431—— 一个四级排列 45321—— 一个五级排列 12…n—— 一个n级排列 注1：n级排列的总数为n!个。 注2：12…n称为自然排列。 例 排列32514 中， 定义 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 2.逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.记为 例 求排列32514 的逆序数 3 2 5 1 4 故此排列的逆序数为5. 思考：求 n(n-1)???1排列的逆序数？ (n-1)+(n-2)+…1= 例 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 3.排列的奇偶性 例 计算下列排列的逆序数，并讨论它的奇偶性. 解 此排列为偶排列. 4.对换 5.定理1：任意一个排列经过一次对换后奇偶性相反 结论：相邻元素对换一次奇偶相反 例：排列32514 排列23514 t+t+1次相邻对换 证明 思路： 结论：不相邻元素对换一次也奇偶相反 5.定理2：n个数码（n1)共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半 若将所有偶排列都施以对换（1,2）， 则q个偶排列全部变为奇排列，所以q p 若将所有奇排列都施以对换（1,2）， 则p个奇排列全部变为偶排列，所以p q p=q=n!/2. 证明：n级排列的总数为：n (n-1)…1=n! 设其中奇排列数为p个，偶排列数为q个。 1. 观察 观察结果 （1）每项都是位于不同行不同列的元素的乘积． 三阶行列式 （2）每项行标都是自然排列， 列标为偶排列则该项符号为＋，否则为－ ? =0 ? =2 ? =2 ? =3 ? =1 ? =1 类似地： 定义 等于所有取自不同行不同列的元素的乘积 （1）式的代数和。 每一项（1）都按下列规则取符号：当 为偶排列时，（1）带正号；反之，（1）带负号。 这里 是 的一个排列， 注1 注2 n阶行列式是由n!项组成，且正号项和负号项 各占一半。 注3 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆; 例　计算行列式 解 例 计算上三角行列式 解 思考：下三角行列式呢？ 例 例 证明对角行列式 行排列 列排列 2 1 3 (? =1) 1 3 2 (? =1) (? = 0) 1 2 3 (? = 2) 3 1 2 考察： n阶行列式的定义也可写成 定理 行标排列 列标排列 证明思路 总结n阶行列式的定义 推论 例 用行列式定义计算