[工学]静电场及其边值问题的解法.ppt

§ 3.6 镜像法Image Method 一、导体平面附近的点电荷 二、导体劈间的点电荷 二、直角坐标中的分离变量法 表3.7-1 直角坐标系中解的形式的选择 例1 例3.7－2 设有两块接地半无限大导体平板相交成角 ，且 n为正整数，交角内置一点电荷（或一线电荷）。现采用镜像法求角内的电场分布。为了不改变原有边界条件（即导体板处电位为零）和交角 内的源分布，试求镜像的位置，以及镜像的个数。 轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像，直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。 § 3.6 镜像法 § 3.6 镜像法 注意：只有n为整数时，最后镜像才能和原电荷重合； 导体交角内任一点的电场就等于N个镜像电荷与原电荷在 该点产生场的总和。 可见， 镜像法小结 * 镜像法的理论基础是静电场惟一性定理； * 镜像法的实质是用虚设的镜像电荷替代边界上感应电荷的分布,使计算场域为无限大均匀介质； * 镜像法的关键是确定镜像电荷的个数、位置及大小； * 应用镜像法解题时，注意：镜像电荷只能放在待求 场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域，它只对该区域等效。 § 3.6 镜像法 * 只有当场域边界与正交坐标面重合(或平行)时，才可确定积分常数，从而得到边值问题的特解。 一、解题的一般步骤： (a)根据边界形状选定坐标系，写出对应的边值问题（微分方程和边界条件）； (b)分离变量，将一个偏微分方程分离成几个常微分方程,并 得出通解表达式； (c)利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的特解。 §3.7 分离变量法The Method of Separation of Variables * 分离变量法是一种最经典的微分方程解法。 * 采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解; 拉普拉斯方程 设 因此 二维问题 §3.7 分离变量法 即 可得 于是有 式中 写为如下形式 以方程 为例 通解的形式是 §3.7 分离变量法 §3.7 分离变量法 （方程： ） 图示一无限长金属管，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为 (V)，金属管截面为矩形，边长为a、b，试求金属管内电位的分布。 图 金属管的截面 (a) B.C.: （D域内）（1） （b） （a） （c） (d） (b) Eq.: [解] §3.7 分离变量法 ( ) a x a x b y a x y b y a x b y x p j j f f sin 100 0 0 0 ) 0 , ( ) 0 , 0 ( 0 , ) 0 , 0 ( = = = = = ￡ ￡ = ￡ ￡ = ￡ ￡ = * * 第3章 静电场及其边值问题解法The Electrostatic Field and Solution Techniques for Boundary –Value Problems 主要内容 静电场边值问题、惟一性定理 镜像法 分离变量法 静电场基本方程与电位方程 静电场中的介质、导体与电容 §3.1 静电场基本方程与电位方程 Fundamental Equations of Electrostatic-Field and electric potential equations 3.1.1 静电场的基本方程 静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为： （1） （2） （2.a） （3） （4） （4.a） §3.1 静电场基本方程与电位方程 3.1.2 电位定义 在静电场中可通过求解电位函数(Potential)， 再利用上式可方便地求得电场强度E 。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。 1) 电位的引出 根据矢量恒等式 ２) 　与 　的微分关系 在静电场中，任意一点的电场强度　　的方向总是沿着电位减少的最快 方向，其大小等于电位的最大变化率。 §3.1 静电场基本方程与电位方程 设P0为参考点 ３) 　与 　的积分关系 §3.1 静电场基本方程与电位方程 ４) 电位参考点的选择原则 ? 场中任意两点的电位差与参考点无关。 ? 同一个物理问题，只能选取一个参考点。 ? 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。 例如：点电荷产生的电场： 表达式无意义 ? 电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。 ? 电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点； §3.1 静电场基本方程与电位方程 3.1.2 电位方程 1) 泊松方程 2) 拉普拉斯方程 解为: §3.2 静电场中的介质 3.2.1 介质的极化 ? 电介质在