[数学]1 电动力学1-1.ppt

第1节 电动力学的数学基础 矢量分析与张量简介 场的概念和标量场的梯度 高斯定理与矢量场的散度 斯托克斯公式与矢量场的旋度 常用运算公式 有关矢量场的几个定理 函数与点电荷的密度分布 1.1.1 矢量分析与张量简介 矢量代数中的两个重要公式 并矢与张量 张量的运算 1.1.2 场的概念和“三度” 2、标量场的梯度 3、矢量微分算子 梯度的意义：空间某点标量场函数的最大变化率， 刻画了标量场的空间分布特征 4、高斯定理与矢量场的散度 矢量族 高斯公式 5、斯托克斯公式与矢量场的旋度 矢量场的环量（环流） 矢量场的旋度 例题4： 证明 证明 1.1.3 常用公式 1、矢量微分算子（哈密顿算子） 4、关于“三度”的一些常用公式 复合函数的三度公式 一般变换规则证明方法 矢量微分算符常用公式 仅证明7式 1.1.4 有关场的几个定理 关于散度旋度的两个定理 亥姆霍兹定理 唯一性定理 1.1.5 函数与点电荷密度 点电荷密度分布 高斯 1795-1799年在哥廷根大学学习，1799年获博士学位。1870年任哥廷根大学数学教授和哥廷根天文台台长，一直到逝世。1855年2月23日在哥廷根逝世。他一生中共发表323篇（种）著作，提出404项科学创见（发表178项），在各领域的主要成就有：（1）关于静电学温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究；（2）利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯定理光学；（3）天文学和大地测量学中，如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等；（4）结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯定理误差曲线。此外，在纯数学方面，对数论、代数、几何学的若干基本定理作出严格证明。 一维 三维 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个重要函数形式 证： =0 [ ] / 机动 目录 上页 下页 返回 结束 德国数学家和物理学家。1777年4月30日生于德国布伦瑞克，幼时家境贫困，聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * 第1章 数学基础和基本理论 主要内容 在直角坐标系中 矢量定义 矢量的基本运算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 混合积 矢量微分 双重矢量积 注意顺序不能颠倒 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （一般 ） 为单位并矢，张量的基（9个分量） 矢量与张量的矩阵表示 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两并矢的二次点乘 单位张量与矢量、张量的点乘 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两并矢的一次点乘 描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了一个场。 如：强度场、速度场、引力场、温度场、电磁场。 场用一个空间和时间 坐标的函数来描述： 稳恒场（稳定场、静场）：场与时间无关 变化场（时变场）：场函数与时间有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、场的概念 已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变化关系（梯、散、旋度）。 已知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数， 这是电动力学求解电磁场的主要方法。 在空间任意靠近两点函数 的全微分 在空间某点的任意方向上，导数有无穷多个，其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 等值面： 常数的曲面称为等值面。 梯度与等值面的关系: 梯度与等值面垂直。 已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。 既具有矢量性质，又具有微分性质 注意： 它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解： =？ 例1： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P P’ 解： 例2： =？ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。 矢量场的通量 面元 的通量： 有限面积 的通量 意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚， 不能反映空间一点的发散或会聚情况