[数学]05-2-1_2矩阵的运算.ppt

第二章 矩阵及其运算 基本要求 理解矩阵的概念，分清零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等特殊的矩阵 熟练掌握矩阵的加法及数乘运算、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式以及它们的运算规律 理解可逆矩阵的概念及性质，以及矩阵可逆的充要条件，理解伴随矩阵的概念和性质，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵 知道分块矩阵及其运算规律，熟悉矩阵的行向量组和列向量组 第一节 矩阵 一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、小结 思考题 第二节 矩阵的运算 一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、矩阵的其它运算 五、小结 作业 P53-54 4（2）（3）、8、9 思考题 思考题解答 但也有例外，比如设 则有 例3 计算下列乘积： 解 解 =( ） 解 例4 由此归纳出 用数学归纳法证明 当 时，显然成立. 假设 时成立，则 时， 所以对于任意的 都有 定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . 例 １、转置矩阵 转置矩阵的运算性质 例5 已知 解法1 解法2 2、方阵的行列式 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或 运算性质 3、对称阵与伴随矩阵 定义 设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为对称阵. 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等. 说明 例6 设列矩阵 满足 证明 例7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵 与反对称阵之和. 证明 所以C为对称矩阵. 所以B为反对称矩阵. 命题得证. 定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 性质 证明 则 称为矩阵 的伴随矩阵. 4、共轭矩阵 定义 当 为复矩阵时，用 表示 的共轭 复数，记　　　　，　称为 的共轭矩阵. 故 同理可得 运算性质 （设 为复矩阵， 为复数,且运算都是可行的）: 矩阵运算 加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 对称阵与伴随矩阵 方阵的行列式 共轭矩阵 1. 线性方程组 的解取决于 系数 常数项 对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究. 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 2. 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B. 四城市间的航班图情况常用表格来表示: 发站 到站 其中 表示有航班. 为了便于计算,把表中的 改成1,空白地方填上 0,就得到一个数表: 这个数表反映了四城市间交通联接情况. 由 个数 排成的 行 列的数表 称为 矩阵.简称 矩阵. 记作 简记为 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 例如 是一个 实矩阵, 是一个 复矩阵, 是一个 矩阵, 是一个 矩阵, 是一个 矩阵. 例如 是一个3 阶方阵. 几种特殊矩阵 (2)只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量). 行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶 方阵.也可记作 只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量). 称为对角 矩阵(或对角阵）. （3） 形如 的方阵, 不全为0 （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零 矩阵记作 或 . 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的. 例如 记作 (5)方阵 称为单位矩阵（或单位阵）. 同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵. 全为1 2.两个矩阵 为同型矩阵,并且对应元素相等,即 则称矩阵 相等,记作 例如 为同型矩阵. 例2 设 解 (1)矩阵的概念 (2) 特殊矩阵 方阵 行矩阵与列矩阵; 单位矩阵; 对角矩阵; 零矩阵. 矩阵与行列式的有何区别? 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个 算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而 矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同. １、定义 设有两个