[数学]181 勾股定理1.ppt

美国总统的证明 加菲尔德 （James A. Garfield； 1831 ? 1881） 1 1 美丽的勾股树 ⒈ 勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系. ⒉勾股定理： 直角三角形两直角边a、b平方和， 等于斜边c平方。 a2+b2 =c2 ⒊勾股定理的主要作用是 在直角三角形中,已知任意两边求第三边的长。 作业：P69---70 1、2、3。 加菲在位 5 個月，最後遭人行刺而死亡。 读一读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就. 　　　　　　　 图1-1 图1-2 在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”即：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。故称之为“勾股定理”或“商高定理” 勾股定理 勾 股 弦 在西方，希腊数学家欧几里德（公元前三百年左右）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。 毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。 相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此，又有“百牛定理”之称。 学习目标 探索直角三角形三边关系，掌握勾股定理，并利用勾股定理进行计算。 毕达哥拉斯 (公元前572----前492年), 古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。 　　 相传在2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系，我们一起来观察图中的地面，看看能发现什么。 A、B、C的面积有什么关系？ 直角三角形三边有什么关系？ A B C a b c A B C 图1—1 （1）观察图1—1： 正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积； 正方形B中含有 个小方格，即B的面积是 个单位面积； 正方形C中含有 个小方格，即C的面积是 个单位面积； 9 9 9 9 18 18 A的面积+ B的面积= C的面积 图1—2 A B C （2）观察图1—2： 正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积； 正方形B中含有 个小方格，即B的面积是 个单位面积； 正方形C中含有 个小方格，即C的面积是 个单位面积； 4 4 4 4 8 8 A的面积+ B的面积= C的面积 因此可知等腰直角三角形有这样的性质： 对于任意直角三角形都有这样的性质吗？ 两直边的平方和等于斜边的平方 看下图 A B C 图1-2 A B C 图1-3 2．观察右边两个图并填写下表： 图1-3 图1-2 C的面积 B的面积 A的面积 16 9 25 4 9 13 　　你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流交流． 做 一 做 那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？ A B C 图1-2 A B C 图1-3 3．三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？ SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积． 议 一 议 a c b 命题１：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。 c a b 看左边的图案，这个图案是公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形 （黄色）． c b a 是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多．下面我们就来看一看我国汉代数学家赵爽是怎样证明这个命题的． c b a 用赵爽弦图证明勾股定理 = 证法一： b a 1881 年成为美国第 20 任总统 1876 年提出有关证明 证法二： a a b b c c 伽菲尔德证法: ∴ a2 + b2 = c2 如果直角三角形两直