[数学]23_数学归纳法第一课时.ppt

（3）（纠错题）课本P87 T3 2nn2(n?N*) 证明 ：①当n=1时，2112,不等式显然成立。 ②假设当n=k时等式成立，即2kk2, 那么当n=k+1时，有 2k+1=2?2k=2k+2kk2+k2?k2+2k+1=(k+1)2. 这就是说，当n=k+1时不等式也成立。 根据（1）和（2），可知对任何n?N*不等式都成立。 虽然既有“递推基础”，又用到假设（“递推依据”），但在证明过程中出现错误，故上述证法错误！ 事实上，原不等式不成立，如n=2时不等式就不成立。 2.3 数学归纳法(第一课时) 问题情境一 问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？ 问题 2: 如果{an}是一个等差数列，怎样得到 an=a1+(n-1)d 完全归纳法 不完全归纳法 模 拟 演 示 从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，…从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。” 归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 （结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难） （结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想） （1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法 （2）不完全归纳法，考察部分对象，得到一般结论的推理方法 归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法 问题情境三 多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示 问题情境三 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？ （1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌） （2）验证前一问题与后一问题有递推关系；（相当于前牌推倒后牌） 数学归纳法 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性： （1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立， （2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做 数学归纳法 3.数学归纳法的应用： （1）恒等式例1例2例3 （2）不等式 （3）三角方面 （4）整除性例4 （5）几何方面例5 （6）计算、猜想、证明 解： 猜想： 如何通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？ 证明 4、对于数列｛　｝，已知　　　，　　　　 求出数列前4项,你能得到什么猜想？ 根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立. 证明： (2)假设n=k时猜想成立即 1 k = a k 多米诺骨牌游戏的原理 这个猜想的证明方法 （1）第一块骨牌倒下。 （2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。 根据（1）和 （2）， 可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。 （1）当n=1时猜想成立。 （2）若当n=k时猜想成立， 即 ，则当n=k+1时猜想 也成立，即 。 根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想 都成立。 已知数列 练习：1、如果{an}是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。 证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, ∴ 当n=1时，结论成立 (2)假设当n=k时结论成立,即ak=a1+(k-1)d ∴当n=k+1时，结论也成立. 由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。 利用假设 凑结论 情境1.观察下列各等式，你发现了什么？ 归纳 问题情境 思考：你由不完全归纳法所发现的结论正确吗？若不正确，请举一个反例;若正确，如何证明呢？ 数学建构 类比多米诺骨牌游戏证明情境1中的猜想 的步骤为： (1)证明当n=1时猜想成立 (2)证明若当n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立. 完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜想对于所有的正整数n都是成立的。 相当于第一张牌能倒下 相当于使所有骨牌倒下的第2个条件 证明 ①当n=1时，左边＝1 ＝右边,等式显然成立。 例 证明： 数学运用 递推基础 递推依据 ②假设当n=k时等式成立，即 那么,当