[数学]工程流体力学.ppt

工程流体力学 主讲: 冯 进 长江大学机械工程学院 §5 理想流体动力学 假设存在一种流体，其粘度为零，该流体称为理想流体。客观上是不存在这种流体的，但当流体的粘度非常小且对运动过程的影响可以不考虑时，可以把它当理想流体处理。 §5.1 理想流体运动方程 在第三章，介绍欧拉法描述流体运动时，我们知道其加速度为： 其中： 例： 巳知流体流动的速度为： 质量力仅有重力，求流体质点在（2，3，1）位置上的压力梯度。采用ρ=1000kg/m3, g＝9.8m/s2。 例2：已知不可压缩流体水平面上作有势流流动，在X方向上的速度分量为ux=yt-x，且在x＝y＝o处，ux=uy=0，p＝p0。试求t＝o时流场的压力分布。 §5.2 理想流体的伯努里方程 一、伯努里方程 当理想流体的压强仅与密度有关时，我们称它为理想正压流体。理想正压流体在有势质量力的作用下，其运动方程在定常及无旋两种特殊情况下可以积分出来。理想流体运动方程： 当理想流体为不可压缩均质流体时，则： 当质量力仅为重力时，则： 运动方程具有以下形式： 当流体为理想、均质不可压、质量力仅为重力且运动为定常时，上式变为： 将等式两端点乘流线上任意点的切线方向的单位矢量 ，得： 沿流线积分得： C为积分常数，沿同一流线取相同值，不同流线取不同的值，这就是伯努里方程。伯努里方程写成： 当流体为理想、均质不可压、质量力仅为重力、定常且无旋时，运动方程写成： 积分得： C为积分常数，在整个流场中取同一值。 二、伯努里方程的物理意义 上式表明单位质量流体的总能量（动能、势能和压能的总和）在同一流线上守恒，如图示。 例1：常用皮托管测量流速，皮托管测速原理如图示，如果被测流体为不可压缩流体。 根据伯努里方程有： 式中，z1=z2，且在第2点处u2=0。根据静压平衡原理，有 ，故： 三、总流伯努里方程 在同一过流断面上各点的速度不一定相同。因此，上式适合于流束而不适合总流，总流是由无限个流束组成的，对每个流束进行积分即可得出实际流体总流能量方程式。 设微小流束的流量为dQ，单位时间内通过微小流束任何过流断面的流体重量为ρgdQ，将适合于流束的伯努里方程各项乘以ρgdQ，在总流的两个过流断面积分，即： 上式分两项积分分别讨论： 1.第一项积分： 只有在所取断面上流动为均匀流或渐变流时，过流断面上z+p/ρg为常数，积分才有可能。所以 2.第二项积分： 它为单位时间通过过流断面A的流体动能的总和。由于流速u分布复杂，无法积分。一般采用动能修正系数α，建立平均流速V的总动能与实际分布速度u的总动能相等，即： 式中： 其值取决于过流断面流速分布，对理想流体α＝1。 因此,总流的伯努里方程: 例1：液体自下而上流动，如图示。液体的密度为ρ，测压计的流体密度为，试求管中液体流量。 例2：一水槽在同一侧面有两个大小相同的孔口，上面的孔口离水面2m，下面孔口离水面4m，试求两孔射流为定常运动时，在哪一点相交。 §5.3 理想流体的拉格朗日积分 一、拉格朗日积分 当流体为理想、均质不可压、质量力仅为重力且无旋时，运动方程变为： 式中 为势函数。 积分上式得： C(t)为积分常数，仅与时间有关，同一时刻取同一常数值，这就是拉格朗日积分。 当流体为理想、均质不可压、质量力仅为重力、无旋且定常时，拉格朗日积分改写成： 二、拉格朗日积分应用 旁管出流的不定常过程如图示。旁管为等直径的水平管，水箱很大，近似认为出流不影响液面高度，水平管内的流动近似认为一维流动。根据连续性方程，有： 根据无旋流动，有： 当X=L时，势函数在B点处对时间的偏导数为： 在同一时刻，A、B 两点的关系： 积分得： 当t=0时，u=0，C=1。因此： 当 时， 例2：已知不可压缩流体作平面势流流动，在X方向上的速度分量为ux =y