[数学]重积分的概念与性质7-2.ppt

一、利用直角坐标系计算二重积分 例2：计算 例3： 计算 二重积分化为二次积分计算步骤及注意事项 二、利用极坐标系计算二重积分 注: 三、小结 解 解 解 二重积分在直角坐标下的计算公式 （在积分中要正确选择积分次序） * 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、小结 第二节 二重积分的计算 如果积分区域为： 其中函数 、 在区间 上连续. ［X－型］ X-型区域的特点： 穿过区域且垂直于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 得 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 如果积分区域为： ［Y－型］ Y-型区域的特点：穿过区域且垂直于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序. 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域, 则 解 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便,先对x后对y积分, 及直线 则 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X–型域 : 先对x积分不行, 注: 若被积函数为一元函数,缺哪个变量就对该变量 先积分. A 解 积分区域如图 解 积分区域如图 解 原式 解 o x y 解 曲面围成的立体如图. 例10:求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的立体体积. 解: 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 ? 画出积分域 ? 确定积分序 ? 写出积分限 ? 计算要简便 积分域分块要少 累次积分好算为妙 (先积一条线,后扫积分域) (充分利用对称性) 二重积分化为二次积分的公式（１） 区域特征如图 二重积分化为二次积分的公式（２） 区域特征如图 极坐标系下区域的面积 二重积分化为二次积分的公式（３） 区域特征如图 =0 法二: 积分区域关于x轴对称, 解 解 利用例5可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上,当D为R2时, 利用例5的结果, 得 ① 故①式成立 .