[研究生入学考试]数学冲刺讲义全部.doc

高 等 数 学 -刘德荫 §1.微积分中几个重要概念 考纲要求理解函数、极限、连续、可导、可微、可积等几个重要概念. 函数 设D是维空间中一个点集. 惟一. 或 当时,称为一元函数, 当时,称为多元函数. 函数的极限 设 使当的一切点 恒有则称是当时的极限. 记作 注：极限定义的要点，自变量的变化方式与路径无关,与趋向点处函数的取值无关。 若 则称函数在点连续. 三、导数与偏导数 一元函数存在两种都要会 的导数表示曲线在处切线的斜率. 切线方程 二元函数 存在 存在 四、微分与全微分写法1.线性改变部分2.3.纵坐标的改变量 一元函数： 二元函数： 五、积分 四个过程 三个两（有界，任意） 设是中有界闭区域上的有界函数. （1）分割 （2）近似代替 （3）求和 （4）取极限 若极限存在且与的分法及点的取法无关，则称I是f在“积分域”上的积分，并称f在上可积，其特例是： 1° 定积分 2° 曲线积分 3° 二重积分是平面区域 4° 曲面积分是曲面块 5° 三重积分是空间区域 一元函数 多元函数 [例题与练习题] 1.1 设 其中是有界函数. 则 ( D ) （A）极限不存在 （B）极限存在但不连续 （C）连续但不可导 （D）可导 1.2 设连续，则a = . 1.3 设 证明不存在. 1.4 求 1.5 证明 在(0, 0)点偏导数存在，但极限不存在. 1.6 证明在(0, 0)点连续，偏导数存在，但不可微. 1.7 二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （ ） （A） （B） （C） （D） [例题与练习题答案或提示] 1.1 （D） 1.2 2 1.3 1.4 1.5 利用偏导数定义 1.6 利用极限定义和偏导数定义 1.7 （C） §2.极限的运算 正确求出各种极限，是考试的重点和热点，判断函数是否连续的实质也是极限，求极限的常用的方法有： 利用极限的四则运算法则； 利用极限存在的两个准则； 利用两个重要极限； 利用洛必达法则； 利用无穷小量代换及泰勒公式； 利用导数和定积分定义等. [例题与练习题] 设试证数列极限存在，并求此极限. 设 求. 求 求 求 求 求 求 求 当时与等价的无穷小量是 （ ） （A） （B） （C） （D） 求记此极限为，求的间断点，并指出其类型. 若 ，b= . 曲线渐近线的条数为 ( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 已知内可导，且 求C的值. [例题与练习题答案或提示] 利用“单调有界数列必有极限准则”来证： 利用“单调有界数列必有极限准则”证明 利用夹逼准则来证，极限值为 1 利用定积分定义，极限值为 1 （B） 第一类可去型间断点 第二类无穷型间断点. （D） §3.微分法 微分法是微积分中最重要的一部分内容，也是考试的重点与热点，考试的题型有： 一、会利用导数的定义讨论分段函数在分界点的可导性. 二、求复合函数，隐函数和由参数方程确定的函数的导数或微分（包括高阶导数） 3.1 已知 . 3.2 设为连续函数 . 3.3 设 . 3.4 设方程确定y为x的函数，则 . 3.5 设函数由参数方程所确定，则 . 3.6 设 . 3.7 设 . 3.8 设有连续的一阶偏导数，又函数分别由下列两式确定 3.9 设由方程组. 3.10 设具有二阶连续偏导数，且满足 又 求 . 3.11 已知 确定 其中均有连续偏导数，求证. 3.12 设 求 [例题与练习题答案或提示] 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 令 利用隐函数求导法则来证明 3.12 §4.中值定理 本节中值定理包含有下列定理：在闭区间上连续函数有介值定理和零点定理，微分中值定理有罗尔定理，拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理以及定积分中值定理，考生要记住定理的条件和结论，并能应用这些定理来证明有关命题. 常见题目类型有： 对于连续函数，证明存在使. 证明有函数的差值（或差值比）出现的等式或不等式. 证明存在两个中值使某等式成立. 证明的问题是利用高阶导数的性质推出函数的某性质. [例题与练习题] 设函数在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且 试证：（1）存在 （2）对任意实数，存在（