[研究生入学考试]数学训练线性代数部分.ppt

１　向量的定义 ２　向量的线性运算 ３　线性组合 ４　线性表示 ５　线性相关 ６　向量组的秩 ７　向量空间 ８　子空间 ９　基与维数 10　向量内积的定义及运算规律 11　向量的长度 12　向量的夹角 13　正交向量组的性质 14　正交矩阵与正交变换 线性方程组 １　齐次线性方程组 2　非齐次线性方程组 3　线性方程组的解法 4　线性方程组有解判别定理 5　线性方程组的解法 方阵的特征值和特征向量 1　方阵的特征值和特征向量 2　有关特征值的一些结论 3　有关特征向量的一些结论 4　相似矩阵 5　有关相似矩阵的性质 6　实对称矩阵的相似矩阵 第六章　二次型 1　二次型的标准形 2　化二次型为标准形 3　正定二次型 4　惯性定理 5　正定二次型的判定 例题：化二次型为标准形 定义 　　方阵　为正交矩阵的充分必要条件是　的行 （列）向量都是单位向量，且两两正交． 定义　若　为正交矩阵，则线性变换　　　称为 正交变换． 正交变换的特性在于保持线段的长度不变． 向量方程 解向量 解向量的性质 性质１ 性质２ 定义 定理 定义 向量方程 解向量的性质 性质１ 性质２ 解向量 向量方程　 的解就是方程组 的解向量． （１）求齐次线性方程组的基础解系 　　第一步：对系数矩阵　进行初等行变换，使其 变成行最简形矩阵 　　第三步：将其余　 个分量依次组成 阶 单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系 （２）求非齐次线性方程组的特解 　　将上述矩阵中最后一列的前 个分量依次作为 特解的第 个分量，其余 个分量全部取 零，于是得 即为所求非齐次线性方程组的一个特解． 定理 定理 　　齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形 矩阵，写出通解． 　　非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯 形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有 解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出 通解． 定义 定理 定理 　属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量． 定义 　　矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； (3)传递性． 　　　若　与　相似，则　与　的特征多项式 相同，从而　与　的特征值亦相同． 　　(4)　能对角化的充分必要条件是　有　个线 性无关的特征向量． (5)　有 个互异的特征值，则 与对角阵相似． 定义 二次型与它的矩阵是一一对应的． 定义 * 向量 线性方程组 特征值与特征向量 分量全为实数的向量称为实向量． 分量全为复数的向量称为复向量． 定义 向量的相等 零向量 分量全为0的向量称为零向量． 负向量 向量加法 数乘向量 　　向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 算，满足下列八条运算规则： 除了上述八条运算规则，显然还有以下性质： 　　若干个同维数的列（行）向量所组成的集合 叫做向量组． 定义 定义 定理 定义 定义 定理 定理 定义 等价的向量组的秩相等． 定理 　　 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩． 定理 　　　设向量组B能由向量组A线性表示，则向量 组B的秩不大于向量组A的秩． 推论１ 推论２ 推论３（最大无关组的等价定义） 　　设向量组　是向量组　的部分组，若向量组 　线性无关，且向量组　能由向量组　线性表示， 则向量组　是向量组　的一个最大无关组． 定义 　　　设 为 维向量的集合，如果集合 非空，且 集合 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集 合 为向量空间． 定义 定义 定义 定义 向量的长度具有下列性质： 定义 　　所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基． 定理 定义 施密特正交化方法 第一步　正交化 第二步　单位化 *