[研究生入学考试]高数同济第五版答案第3章.doc

习题3?1 1? 验证罗尔定理对函数y?ln sin x 在区间上的正确性? 解 因为y?ln sin x 在区间上连续??在内可导??且, 所以由罗尔定理知??至少存在一点??使得y((?)?cot ??0? 由y((x)?cot x?0得? 因此确有??使y((?)?cot ??0? 2? 验证拉格朗日中值定理对函数y?4x3?5x2(x?2在区间[0??1]上的正确性? 解 因为y?4x3?5x2(x?2在区间[0??1]上连续??在(0??1)内可导??由拉格朗日中值定理知??至少?((0??1)??使?? 由y((x)?12x2?10x(1?0得?? 因此确有??使?? 3? 对函数f(x)?sin x及F(x)?x ?cos x在区间上验证柯西中值定理的正确性? 解 因为f(x)?sin x及F(x)?x ?cos x在区间上连续??在可导??且F((x)?1?sin x内不为0??所以由柯西中值定理知至少存在一点??使得 ? 令??即?? 化简得??易证??所以在??即确实存在, 使得 ? ?? 试证明对函数y?px2qx(r应用总是位于区间的正中间? 证明 因为函数y?px2(qx(r在闭区间[a??b]上连续??在开区间(a??b)内可导??由拉格朗日中值定理??至少存在一点?((a??b)??使得y(b)?y(a)?y((?)(b?a)??即 (pb2(qb(r)?(pa2(qa(r)?(2p?(q)(b?a)? 化间上式得 p(b?a)(b(a)?2p??(b?a)?? 故?? 5? 不用求出函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的导数，说明方程f ((x)?0有几个实根??并指出它们所在的区间? 解 由于f(x)在[1??2]上连续??在(1??2)内可导??且f(1)?f(2)?0??所以由罗尔定理可知??存在?1((1??2)??使f ((?1)?0? 同理存在?2((2??3)??使f ((?2)?0??存在??3((3??4)??使f ((??3)?0??显然?、?、?都是f ((x)?0的根??注意到方程f ((x)?0??它至多能有三个实??现已发现它的三个实根??故它们也就是方程f ((x)?0的全部根?? 6? 证明恒等式?? (?1(x(1)? 证明 设f(x)( arcsin x(arccos x? 因为 ?? 所以f (x)(C??其中C是一常数? 因此??即? 7? 若方程a0xn?a1xn?1??( ( ( ??an?1x?0有一个正根x0??证明方程 a0nxn?1?a1(n?1)xn?2 ??( ( ( ?an?1 ?0 必有一个小于x0的正根? 证明 设F(x)?a0xn?a1xn?1??( ( ( ??an?1x??由于F(x)在[0??x0]上连续??在(0??x0)内可导??且F(0)?F(x0)?0??根据罗尔定理??至少存在一点?((0??x0)??使F ((?)?0??即方程 a0nxn?1?a1(n?1)xn?2 ??( ( ( ?an?1 ?0 必有一个小于x0的正根? 8? 若函数f(x)在(a??b)内具有二阶导数??且f(x1)?f(x2)?f(x3)??其中a(x1(x2(x3(b??证明? 在(x1??x3)内至少有一点???使得f (((?)?0? 证明 由于f(x)在[x1??x2]上连续??在(x1??x2)内可导??且f(x1)?f(x2)??根据罗尔定理??至少存在一点?1((x1??x2)??使f ((?1)?0? 同理存在一点?2((x2??x3)??使f ((?2)?0?? 又由于f ((x)[?1???2]上连续??在(?1???2)内可导??且f ((?1)?f ((?2)?0??根据罗尔定理??至少存在一点? ((?1???2)((x1??x3)??使f (((??)?0?? 9? 设a(b(0??n1? 证明?? nbn?1(a?b)an?bnnan?1(a?b) ? 证明 设f(x)?xn??则f(x)在[b??a]上连续??在(b??a)内可导??由拉格朗日中值定理??存在?((b??a )??使 f(a)(f(b)(f ((?)(a(b)??即an?bn?n??n?1(a?b)? 因为 nbn?1(a?b)?n?