[研究生入学考试]高等数学上册总复习.doc

第一章 总复习 内容：极限与连续 基本要求：1．理解极限定义，了解极限性质。 2．理解无穷小、无穷大定义，掌握其性质。 3．熟练掌握各类极限的计算方法。 4．理解函数连续性的定义，会找函数的间断点、并分类。 5．了解函数连续性的运算性质及闭区间上连续函数的性质。 内容与方法精讲： 极限的基本概念 极限定义 （无论多小），总存在一个时刻，当这个时刻以后，恒有 . 实质：可以任意小。 无穷小定义 （无论多小），总存在一个时刻，当这个时刻以后，恒有 . 实质：可以任意小。 无穷大定义 （无论多大），总存在一个时刻，当这个时刻以后，恒有 . 实质：可以任意大。 注：以上“总存在一个时刻，当这个时刻以后”指的是： 对，意味着：“一个正整数，当以后”。 对，意味着：“一个正实数，当以后”。 对，意味着：“一个正实数，当以后”。 单侧极限定义 左极限 ，当时，恒有. 右极限 ，当时，恒有. 极限的性质 惟一性：如果极限存在，则极限值是惟一的 有界性：若数列收敛，则有界。 局部有界性：若存在，则函数在局部有界。 局部保号性：若（或），则在局部有（或）.反之，若，且在局部有（或），则（或）. 子列收敛性：若数列收敛于，则的任何子列也收敛于. 沿点列收敛性：若，则沿以为极限的点列（）函数也收敛于 即 夹逼准则：若，且，则存在，且为 单调有界原理：单调有界数列必有极限。 极限与单侧极限关系：. 无穷小与无穷大性质 1． 2．无穷小的和、差、积仍为无穷小。 3．无穷小与有界变量之积为无穷小。 4．无穷小与无穷大互为倒数。 5．正（负）无穷大之和为正（负）无穷大。 6．无穷大之积为无穷大。 7．无穷大与极限非零变量之积为无穷大。 8． 9．若在极限过程中，且极限存在或为，则 几个重要极限 2． （）. 3．（型）在极限过程中，如果函数，则 ； ； ； ； ； . 4．（型）当时，有理函数极限为 （其中） 5．（型）在极限过程中，如果函数，则 在极限过程中，如果函数，则 几组常用的等价无穷小 当时，以下无穷小两两等价： 当时， 当时， 当时， 当时， （）. 极限计算方法 定式极限 若函数在点连续，则 利用无穷小与无穷大的运算性质。 未定式极限 1．型：① 分子分母同除一个适当的无穷小（通常是约分）。 ② 先将函数恒等变形（通常是有理化、三角变形等），然后再约分。 ③ 凑重要极限3. ④ 利用等价无穷小进行替代。 2．型： ① 分子分母同除一个适当的无穷大。 ② 利用重要极限4. （注意局限性） 3．型：通过通分、有理化或由对数运算性质等手段将其化为或型。 4．型： ① 将无穷小部分利用等价无穷小进行替代。 ② 由将其化为或型。 5．型：① 凑重要极限5. ② 进行换底：. （化为型） ③ 利用取对数法：设，则， 如果，则 注：以上方法②、③也适用于型和型。 （三）项和与项积的数列极限 1．先求出和或积的简化式，再求极限。 2．用夹逼准则。 （四）分段函数在分界点的极限 1．若 则 2．若 先求左、右极限； ， 如果这两个极限存在且相等，则（或），否则不存在。 函数连续性的概念 连续性定义 ① 函数在点连续是，其中 ② 函数在点连续是 连续函数的运算性质 ① 连续函数的和、差、积、商（分母不为零时）是连续函数。 ② 单调连续函数的反函数是连续函数。 ③ 连续函数的复合函数是连续函数。 ④ 初等函数在定义区间内连续。 闭区间上连续函数的性质 ① 最值定理：若函数在闭区间[]上连续，则在闭区间[]上 必取得最大值与最小值. ② 有界性定理：若函数在闭区间[]上连续，则在闭区间[]上有界。 ③ 零点定理：若函数在闭区间[]上连续，且，则在开区间（）内至少有一点使得 ④ 介值定理：若函数在闭区间[]上连续，且，则函数必取得介于与之间的任何值；也可以取得介于最小值与最大值之间的任何值。 间断点的找法分类 间断点的找法 ① 对初等函数找无定义的点（它一定是间断点）。 ② 对分段函数要讨论分界点（它可能是间断点，也可能不是间断点）。 间断点的分