2011届高考数学第一轮学案和测评复习课件14.pptVIP

第十四单元 推理与证明、数系的 扩充与复数的引入 第三节 数学归纳法 第四节 数系的扩充与复数的引入 考点演练 10. 完成反证法证题的全过程. 已知：a1,a2,…，a7是1，2，…，7的一个排列. 求证：乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数. 证明：假设p为奇数，则均为奇数.① 因奇数个奇数之和为奇数，故有 奇数= ② = ③ =0. 但奇数≠0，这一矛盾说明p为偶数. 答案: ① ② ③ 证明： 由余弦定理,得a2-b2=c2-2bccos A, 则 . 又由正弦定理,得 , 11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边为a,b,c, 求证： . 12. 已知a,b,c,d都是正数，且bcad,求证： 解析： ∵ a,b,c,d∈R+且bcad, ∴ ,∴ 又 ∴ ,∴不等式成立. 基础梳理 1. 数学归纳法的适用对象 一般地,对于某些与 有关的数学命题,我们用数学归纳法公理. 2. 数学归纳法的步骤 用数学归纳法证明命题时，其步骤如下： (1)如果当n取第一个值n0(例如n0=1,2等)时结论正确; (2)假设当 时结论正确,证明当n= 时结论也正确. 那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立. 正整数 n=k(k∈N*,且k≥n0) k+1 典例分析 题型一 与自然数n有关的等式的证明 【例1】用数学归纳法证明： 分析 用数学归纳法证明问题，应严格按步骤进行，并注意过程的完整性和规范性. 证明 （1）当n=1时，左边=12×4=18,右边=18,等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时, 成立; 当n=k+1时， 所以当n=k+1时，等式也成立. 综上可得，等式对于任意n∈N*都成立. 学后反思 用数学归纳法证题时两个步骤缺一不可，证当n=k+1时命题成立，必须要用当n=k时成立的结论，否则，就不是数学归纳法证明. 举一反三 1. 用数学归纳法证明： 解析： （1）当n=1时，左边= ,右边= ,∴等式成立. （2）假设n=k(k∈N*)时, 成立; 当n=k+1时, 左边= ∴n=k+1时，等式成立. 综上可得，对于任意n∈N*等式都成立. 题型二 用数学归纳法证明整除问题 【例2】求证： （n∈N*）能被9整除. 分析 当n=1时，原式=27能被9整除.因此要研究 与 之间的关系，以便利用归纳假设 能被9整除来推证 也能被9整除. 证明 设 （1）f(1)=(3×1+1)×7-1=27能被9整除，因此当n=1时命题成立. (2)假设n=k(k∈N*)时命题成立， 即 (k∈N*)能被9整除. 则 由于f(k)能被9整除， 能被9整除， 所以 能被9整除. 由（1）、（2）知，对所有正整数n, 能被9整除. 学后反思 整除问题一般是将n=k+1时的结论设法用n=k时的结论表达，而后利用假设来讨论判断是否满足整除. 举一反三 2. 用数学归纳法证明： (n∈N*)能被x+2整除. 证明： （1）当n=1时， 1-(3+x)=-2-x=-(x+2)，能被x+2整除. （2）假设当n=k时， 能被x+2整除, 则可设 = (f(x)为k-1次多项式). 当n=k+1时， 能被x+2整除. 综上可知，对任意n∈N*,1-(3+x)n能被x+2整除. 题型三 用数学归纳法证明不等式 【例3】求证： (n≥2,n∈N*). 分析 和正整数有关，因此可用数学归纳法