直接数值积分法.ppt

* §6-4 直接积分法 引言： 模态迭加法虽然是一种广泛使用的，行之有效的计算方法。但是它存在着以下缺点： 1、必需首先求解系统的特征解，坐标变换； （前m阶） 2、要实现系统方程解耦，只有在[C]矩阵是比例阻尼矩阵或其他个别情况下才有可能，在一般的情况下是不可能解耦的； 3、模态迭加法只对线性系统才适用，而难于将它推广使用于非线性系统的动力学方程求解。 第 4节 直接积分法 第 六章 直接积分法虽然其计算过程常比模态叠加法长，但是， 它能克服模态迭加法的三个缺点，因此，它也是目前在工程上经常使用的方法。 所谓直接积分法的主要特点是不需要对系统方程实行坐标变换，而直接在离散 的时间域上求其数值解。 使用直接积分法，需对时间域进行离散，并在每 一段时间域内，给出系统的坐标、速度与加速度 的两个近似关系式——通常是一种差分方程， 再把这样的关系式代入系统方程中，由此便可 的诸运动量 求得下一时刻 的诸运动量的递推关系式。 第 五章 第 4节 直接积分法 得到由系统在过去时刻 本节主要介绍最常用的两种隐式直接积分法： Newmark法和Wilson-θ法，均属隐式积分法。 一、Newmark法（常平均加速度法） 直接积分法的重要特征是：在给定初始时刻 速度、加速度后，可求得 在直接积分法中有两种基本方法： 一是显式的直接积分法 二是隐式的直接积分法 的位移、 时刻的位移，速度和 加速度，而后逐步求得 时刻的解。 第 4节 直接积分法 第 六章 在推导算法时，只需从 t 时刻的解 推导出求解 时刻 的 计算公式，实际上就建立了计算所有离散时刻响应值 的算法。 在 时刻的响应值应满足动力平衡方程： 为了导出所需要的公式，必须假设时间区间 上加速度的变化规律，从而找出 t 时刻与 时刻 第 4节 直接积分法 第 六章 * 位移，速度和加速度之间的关系。 1、Newmark法的公式推导 ① Newmark法的特点是：常平均加速度假设，即 即假设加速度为介于 之间的某一常向量，记为 ，即 其中：δ——控制参数，满足0≤δ≤1 第 4节 直接积分法 第 六章 ……(a) （注：在线性加速度方法中设 ） 为了获得稳定高精度的算法，在Newmork法 或设 第 4节 直接积分法 第 六章 控制参数 ……(a’) ② 以时间 t 为原点，通过积分可获得 时刻的 （即 t ＝0） 速度： 位移： ③ 可解出以 所表示的 第 4节 直接积分法 第 六章 时刻加速度、速度，即 ……(b) ……(b’) ④ 原方程 * ，得 时刻的位移方程 即 —— 等效刚度矩阵，与时间 t 无关， —— 等效载荷向量，与时间 t 有关， 第 4节 直接积分法 第 六章 ……(c) ……(c’) ……(d) 即 求解方程（d）可得 时刻的位移 ⑤ 然后将 可求得 加速度: 代入 时刻速度， 第 4节 直接积分法 第 六章 2、Newmark法具体求解过程 ①初始计算 （i）形成刚度矩阵[K]，质量矩阵[M]和阻尼阵[C]， （ii）确定初始值 （iii）选择时间步长，参数α，δ，并计算有关 积分常数: ——等分积分区间， 一般取： 即取: 第 4节 直接积分法 第 六章 计算公式中用到的常数！ （iv）形成等效刚度矩阵 （v）对 作三角分解： 第 4节 直接积分法 第 六章 与时间 t 无关！ （思考：为什么？） ② 对每一时刻 进行下列计算 （i）计算 时刻的等效载荷 （ii）求解 时刻的位移 即求 （iii）计算 时刻的速度和加速度 第 4节 直接积分法 第 六章 到此为止，就求出了 时刻的 再继续回到②求下一时刻的值。 3、Newmark法的稳定性分析 第 4节 直接积分法 第 六章 作为初值 可以证明：当 Newmark法是无条件稳定的。 即对任何时间步长算法总是稳定的。 以单自由度运动方程为例说明算法的稳定性。 （上式也可理解为多自由度解耦后的振动方程） 因为坐标变换后方程积分与原动力方程直接积分在数学上等价！ 因此只要研究算法对* *式稳定，则直接积分法稳定。 第 4节 直接积分法 时 第 六章 * * 由Newmark法可求得： —— 称为积分逼近算子 —— 称为载荷算子 均与 有关 数学分析理论指出：当[A]的谱半径 时， 第 4节 直接积分法 第 六章 则相应算法是稳定的，即初始误差不会在逐步积分中 扩散。相反，若 ，则相应的算法不稳定。 不稳定的算法导致错误结果或计算数值溢出。对于稳定 算法，若对任何时间步长算法总是稳定的，即恒有 ，则该算法称为无条件稳定算法；若仅当时 间步长小于某一固定值 （即：临界稳定步长）时 算法才稳定，则该算法称为条件稳定