研究生矩阵论课后习题答案全习题四.doc

习题四 1．求下列微分方程组的通解 （1） （2） 解：(1)设,则原方程组可写为 ， 矩阵的特征方程为 ， 则矩阵的特征值为,,求得矩阵的特征向量分别为, 令,则,有 ,, 则. 故该方程组的通解为 其中为任意常数. (2)设,则原方程可写为 ， 矩阵的特征方程为 ， 则矩阵的特征值为,. 的属于特征值的特征向量为 , 由方程组 解得的属于特征值的广义特征向量为 . 令,则,有 ,由于, 则 , 故方程组的通解为 , 其中为任意常数. 2．求微分方程组满足初始条件的解： （1），（2）. 解:(1)由第1题知 , 故微分方程组满足初始条件的解为 . (2)矩阵的特征方程为 , 故矩阵的特征值为,. 的属于特征值的特征向量为, 由方程组 解得的属于特征值的广义特征向量为 , 令,则,有 , 又 , 故微分方程组满足初始条件的解为 . 3．求满足条件的解： （1） （2） 解:(1)由第1题知 , 则, 故 则该方程组的解为 (2)矩阵的特征方程为 , 则的特征值为,,求得其特征向量分别为 . 令,有 , 又 , 则 , 故 则该方程组的解为 . 4．求方程满足的解. 解:令,则 写成向量方程组为 , 其中. 对于矩阵,有,其中 于是 , 由于 , 则 故原方程的解为 5．试证明：若为2阶方阵，其特征值为，特征向量为，则方程 的解一定能表示成 ， 其中由下式确定: ， 然后利用这一结论求解定解问题： 的解,并将这一结论推广到阶方阵情形. (1)证明:令,则 于是 , 令则,微分方程化为 其解为 , 故方程的解一定能表示成 若是定解问题,则由确定. (2)解:矩阵的特征值为,特征向量分别为, 则方程组 的通解为 , 由于 , 则 , 解之,得 , 故原方程组的解为 . (3) 阶方阵的情形: 设微分方程组 , 其中系数矩阵为阶可对角化矩阵，其特征值为，特征向量分别为，则该方程组的通解为 , 其中为任意常数.若为定解问题,则常数可由初始条件确定. 6．已知是方程组 的转移矩阵，试证 . 证明:由于,两边对求导得, , 由于是方程组的转移矩阵,则 , , 故 , 两边右乘,得 , 即 . 7．求时变系统 的解，其中分别如下： （1）， （2） [该题有误: ] （3） 解:（1）对任意的,有 , 故方程组的转移矩阵为 由于 , , , ……… 则 . 故该方程组的解为 (3) 由于各元素在区间上有界,则该方程组的转移矩阵为 故该方程组的解为 8．求下列定解问题的解： 其中 （1） （2） 解:(1)由于系统所对应的齐次系统的转移矩阵为 , 则该系统的解为