《变化率与导数》优质课比赛课件.pptVIP

函数是高中数学的主干内容，导数作为选修内容引入新课程，为研究函数提供了有力的工具，对函数的单调性、极值、最值等问题都得到了有效而彻底的解决.用导数方法研究函数问题是数学学习的必然也是高考命题的方向.而本节课是学习导数的第一课时，俗话说，万事开头难，这个头开好了，能为今后的深入学习和探究打下良好的知识基础和心理基础. 导数是如何定义的？ 变化率与导数 问题1 气球膨胀率 在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢? 结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小. （一）平均变化率 思考： 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态, 那么: 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, 在1≤ t ≤2这段时间里, 问题2.平均速度. 思考：求t1到t2时的平均速度． 平均变化率 令Δx = x2 – x1 , Δf = f (x2) – f (x1) ,则 几何画板演示：[选修2-2]导数与变化率.gsp 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态. 探究讨论： （二）、 导数的概念 在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 又如何求 瞬时速度呢? 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 求：从2s到(2+Δt)s这段时间内平均速度 Δt 0时，在[ 2+Δt, 2 ]这段时间内 Δt 0时, 在[2, 2 +Δt ]这段时间内 当Δt = – 0.01时, 当Δt = 0.01时, 当Δt = – 0.001时, 当Δt =0.001时, 当Δt = –0.0001时, 当Δt =0.0001时, Δt = – 0.00001, Δt = 0.00001, Δt = – 0.000001, Δt =0.000001, 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? …… …… 当Δt趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |Δt |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1. 表示“当t =2, Δt趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”. 从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 探 究: 1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示? 定义: 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 或 , 即 一概念的两个名称. 瞬时变化率与导数是同 . 3 的具体取值无关. 与 x x f D ￠ ) ( . 2 0 . 其导数值一般也不相同 的值有关，不同的 与 0 0 0 ) ( . 1 x x x f ￠ 定义: 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 或 , 即 由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 求函数的改变量 2. 求平均变化率 3. 求值 ; ) ( ) ( 0 0 x x f x x f x f D - D + = D D 题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 和 根据导数的定义, 所以, 同理可得 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 / h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 / h的速率上升.