第五章++卡方拟合优度检验.ppt

* 第五章 c 2 拟合优度检验及其应用 第一节 c 2 拟合优度检验 二项分布（0－1数据） 考虑比例问题：P(X=1)=p，P(X=0)=1–p 假设检验： H0：p=p0；H1：p?p0。 样本统计：1 的频数为k，0 的频数为n–k。 检验统计量及其分布： 等价的检验统计量及其分布 也可以写成： n O2=n–k O1=k 观测频数 n E2=n(1–p0) E1=np0 理论频数 合计 A2 (X=0) A1(X=1) 总体分类 理论H0的检验统计量及其分布： 例1：某机构认为公众对某项事业的看法无所谓，并通过调查来进行实证，却得到相反的证据，数据如下： 100 60 40 观测频数 100 50 50 理论频数 合计 反对 赞成 总体分类 多项分布（属性数据） 考虑多项分布问题： 假设检验： 数据结构： …… …… …… n Os O1 观测频数 n Es=nps0 E1=np10 理论频数 合计 As (X=s) A1(X=1) 总体分类 理论H0的检验统计量及其分布： 在近似计算方面，尽可能要求所有观测频数Oi≥5， 容许个别为3或4；否则，对某些类进行合并。 例2：骰子的检验 某人在赌场对掷骰子观测了120次，获得数据： 1 144 100 16 64 49 (Ei–Oi)2 120 21 32 10 16 28 13 观测值 Oi 0 –1 –12 10 4 –8 7 Ei–Oi 18.70 0.05 7.20 5.00 0.80 3.20 2.45 (Ei–Oi)2/ Ei 120 20 20 20 20 20 20 理论值 Ei 合计 6 5 4 3 2 1 朝上的面 i P值＝0.003 因此，可以认为骰子不均匀或赌场有作弊行为。 例3：判定样本的不随机性 有一项调查据称是在某地区随机进行的。该地区各年龄段（或其它分组方式）的人口比例是已知的。样本量为1000，具体数据如下： 1 100 10 90 100 0.1 6 1 0.05 0.15 0.15 0.2 0.2 0.15 各组比例 100 900 400 900 1600 400 (Ei–Oi)2 1000 60 180 130 170 240 130 观测值 Oi 0 –10 –30 20 30 –40 20 Ei–Oi 26.83 2 6 2.67 4.5 8 2.67 (Ei–Oi)2/ Ei 1000 50 150 150 200 200 150 理论值 Ei 合计 7 5 4 3 2 1 数据分组 P值＝0.0002 因此，可以认为该调查的随机性是有问题的。 一般分布的检验（属性数据或连续数据） 检验方法： 对总体进行随机抽样，得样本X1,… , Xn； 按某种方式所得到的总体分类A1,… , As对样本进行频数统计，得观测频数O1,… , Os； 用极大似然法估计参数q1,… , qr；得估计值 计算观测频数O1,…, Os的理论值E1,…, Es，即在H0下等于： 理论H0的检验统计量及其分布： 例4：120名成年男子红细胞数的正态性检验 0.0 0.87 0.49 -0.5 -2.5 0.6 1.6 -0.5 0.5 -0.51 -0.13 E－O 1.042 120 120 合计 0.405 0.76 1 1.87 5.90~6.20 0.053 0.24 4 4.49 5.60~ 0.024 0.25 11 10.5 5.30~ 0.338 6.25 21 18.5 5.00~ 0.015 0.36 24 24.6 4.70~ 0.104 2.56 23 24.6 4.40~ 0.014 0.25 19 18.5 4.10~ 0.024 0.25 10 10.5 3.80~ 0.056 0.26 5 4.49 3.50~ 0.009 0.017 2 1.87 3.20~ (E－O)2/E (E－O)2 观察频数O 理论频数E 组段 P值为0.99，故不拒绝正态性假设。 120名成年男子红细胞数的直方图 例5：30年代卢瑟福观测了在7.5秒时间内X射线到达指定区域的质点数，共观测2608次，获得统计数据： 0.07 –1 17 16 ≥10 0.166 –3 29 27 9 7.72 –23 68 45 8 0.012 –1 140 139 7 0.267 –8 211 203 1 2608 254 393 508 526 407 54 观测值 Oi 0 19 15 24 –1 –24 3 Ei–Oi 12.91 1.45 0.534 1.10 0.00 1.46 0.124 (Ei–Oi)2/ Ei 2608 273 408 532 525 383 57 理论值 E