线性代数第15章习题详解.docx

前言解肖斌因能力有限，资源有限，现粗略整理了《工程数学 线性代数》课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）； （2）; （3）； （4）.解 （1）==（2）（3）（4）2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3；（5）1 3 … 2 4 … ；（6）1 3 … … 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1（4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3（5）逆序数为：3 2 1个5 2，5 4 2个7 2，7 4，7 6 3个……………… … 2， 4， 6，…， 个（6）逆序数为3 2 1个5 2，5 4 2个……………… … 2， 4， 6，…， 个4 2 1个6 2，6 4 2个……………… … 2， 4， 6，…， 个3.写出四阶行列式中含有因子的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数．由于已固定，只能形如□□，即1324或1342.对应的分别为或和为所求.4.计算下列各行列式：（1）； （2）； （3）； （4）解(1)===0(2) =0(3)===(4)= ==5.证明: (1)=; (2)=;(3);(4);(5).证明(1)(2) (3) (4) =====(5) 用数学归纳法证明假设对于阶行列式命题成立，即 所以，对于阶行列式命题成立.6.设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得， ，，证明.证明　同理可证 7.计算下列各行列式（）：(1),其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0；(2);(3) ;提示：利用范德蒙德行列式的结果．(4) ;(5);(6),.解(1) () (2)将第一行乘分别加到其余各行，得再将各列都加到第一列上，得(3) 从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第行经次对换换到第2行…，经次行交换，得此行列式为范德蒙德行列式(4) 由此得递推公式： 即而得 (5)=(6)8.用克莱姆法则解下列方程组： 解　(1) ;(2)()．9.有非零解？解 ， 齐次线性方程组有非零解，则即 得不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.10. 有非零解？解齐次线性方程组有非零解，则得 不难验证，当时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章　矩阵及其运算 1 已知线性变换 求从变量x1 x2 x3到变量y1 y2 y3的线性变换 解 由已知 故 2 已知两个线性变换 求从z1 z2 z3到x1 x2 x3的线性变换 解 由已知 所以有 3 设 求3AB2A及ATB 解 4 计算下列乘积 (1) 解 (2) 解 (132231)(10) (3) 解 (4) 解 (5) 解 (a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3) 5 设 问 (1)ABBA吗? 解 ABBA 因为 所以ABBA (2)(AB)2A22ABB2吗? 解 (AB)2A22ABB2 因为 但 所以(AB)2A22ABB2 (3)(AB)(AB)A2B2吗? 解 (AB)(AB)A2B2 因为 而 故(AB)(AB)A2B2 6 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A20 则A0 解 取 则A20 但A0 (2)若A2A 则A0或AE 解 取 则A2A 但A0且AE (3)若AXAY 且A0 则XY 解 取 则AXAY 且A0 但XY 7 设 求A2 A3 Ak 解 8 设 求Ak 解 首先观察 用数学归纳法证明 当k2时 显然成立 假设k时成立，则k1时， 由数学归纳法原理知 9 设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵 证明 因为ATA 所以 (BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB 从而BTAB是对称矩阵 10 设A B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA 证明 充分性 因为ATA BTB 且ABBA 所以 (AB)T(BA)TATBTAB 即AB是对称矩阵 必要性 因为ATA BTB 且(AB)TAB 所以 AB