高2011级数学课外提高班资料03学生用.doc

第三讲 集合的概念与运算 集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题. 【基础知识】 一．集合的有关概念1．集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素. 2．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性. 3．集合的分类：无限集、有限集、空集. 4. 集合间的关系：. 即且. 2.集合的运算性质 (1),(幂等律); (2), (交换律); (3), (结合律); (4),(分配律); (5),(吸收律); (6)(对合律); (7), (摩根律) (8),. 3.集合的相等 (1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等; (2)利用定义,证明两个集合互为子集; (3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价; (4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条 【典例精析】 例1:在集合中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 . 例2且,求参数的取值范围. 例,集合.若,则的值是 A.5 B.4 C.25 D.10 例.若,求……+的值. 例,满足集合A中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A. 例,若,求实数的取值组成的集合A. 例R}, R}. 若 , 则 的取值范围是 ． 例,,其中, .若,.且中的所有元素之和为124,求集合A、B. 例的函数形成了一个集合M,其中,并且,求函数与集合M的关系. 例及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如的“交替和”是,集合的“交替和”是10－7=3,集合的“交替和”是5等等.试求A的所有的“交替和”的总和.并针对于集合求出所有的“交替和”. 例例且≥15，都是{1，2，3，…，}真子集，，且={1，2，3，…，}.证明：或者中必有两个不同数的和为完全平方数. 【赛向点拨】 1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基础.因此，深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要. 2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用. 3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提. 4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一. 平面上，，所围成图形的面积为，则集合的交集所表示的图形面积为( ) A. B. C. D. 2. (2006年陕西预赛)为实数,集合M=表示把集合M中的元素映射到集合P中仍为,则的值等于( ) A. B.0 C.1 D. 3. (2004年全国联赛)已知M=，N=，若对于所有的，均有则的取值范围是 A．[] B.（）C.（）] 4. (2005年全国联赛) 记集合 将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（　　　　） A． B． C．　 D． 5. 集合A,B的并集A∪B={a1,a2,a3}，当且仅当A≠B时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有设A={n|100n≤600,n∈N}，则集合A中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.,.若,则实数的取值范围是 . 8. 设M={1,2,3,…,1995}，A是M的子集且满足条件: 当x∈A时,15xA，则A中元素的个数最多是___. (2006年集训试题)设n是正整数，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于 ＝{|＝,}， 求证：⑴∈()；　　　　⑵. 11.（2006年江苏）设集合，．若，求实数的取值范围． 12. 以某些整数为元素的集合具有下列性质：①中的元素有正数，有负