近世代数对自身能力培养.doc

近世代数对自身能力的培养 摘要：近世代数课程是数学专业本科阶段的必修课程。它的主要内容就是研究所谓代数系统，即带有运算的集合。通过一个学期的时间学习,本人深感在这门课程中,除老师教授我们本课程的知识系统外,还进一步发挥了数学这门课程训练思维的独特优势,积极开发了我们的创造性思维能力,逐步提高了我们的数学素养。 关键词: 近世代数，思维创造，自身能力，数学素养 目 录 1. 简介 1 1.1背景 1 1.2近世代数的相关研究 2 1.3本论文的研究内容与目的 3 2.近世代数 3 2.2课程特点 3 2.3课程意义 4 3. 近世代数的学习对学生能力的培养 4 3.1 近世代数的学习 4 3.2 对学生自身能力的培养 4 3.2.1加强对数学的基本思想和方法理解能力 5 3.2.2提高抽象思维能力和逻辑推理能力 6 3.2.3培养学生自身创新能力和动手能力 6 3.2.4有助于学生自身数学学修养的形成 7 3.2.5提升学生追根究底的学习探索能力 9 4.总结 8 参考文献： 10 简介 1.1背景 作为数学系本科的一门重要专业基础课, 也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课。主要内容有群论，环论和域论，近世代数的基本概念、理论和方法, 是每一个数学工作者所必需具备的基本数学素养之一。 而理解和掌握近世代数的基本内容、理论和方法, 对于学生加深理解数学的基本思想和方法, 培养抽象思维能力和逻辑推理能力, 提高数学修养都具有重要意义。 1.2近世代数的相关研究 被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。 1843年，哈密顿发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。第二年，Grassmann推演出更有一般性的几类代数。 1857年，凯莱设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定(与其余假定是兼容的)，就能研究出许多种代数体系。 　　 1870年，克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；狄德金和克隆尼克创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。 　　 有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为代数女皇，她就是诺特。诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。给出诺特定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起,研究交换代数与「交换算术」。建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理。提出了现代数学中的“环”和“理想”的系统理论。 1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论。 到现在为止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。 1.3本论文的研究内容与目的 现有的对于近世代数相关方面的研究，主要是是针对近世代数在教学中对学生创造性思维能力、逻辑思维能力的培养，而从学生角度看待近世代数，对学生自身能力的培养的研究文献甚少。 因而，本论文主要通过自己所学习的近世代数知识中，去探讨分析对学生逻辑思维、创新思维等能力培养。首先，简单介绍近世代数相关方面的研究，包括定义，课程特点，及课程意义；然后在此基础上，总结并通过具体的例子加以阐述近世代数对学生自身思维、创新等能力的培养；最后总结全篇论文。 2.近世代数 2.1定义 近世代数，又称抽象代数，它产生于十九世纪，是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科，已经成了当代大部分数学的通用语言。 2.2课程特点 近世代数这门课程是继学生学习完了高等代数后一门继续深入的课程。知识体系的大部分内容是数学家根据现实中不同