解析函数的洛朗展式与孤立奇点演示幻灯.ppt

5、本性奇点 定理5.6 　的孤立奇点　 为本性奇 点的充分必要条件是 定理5.7 若　　　为　　　之一本性奇点，且在点　　的充分小去心邻域内不为零，则　　　亦必为 的本性奇点。 如： 　　　为　　的本性奇点，　　 亦为　　　　的本性奇点。 6、毕卡定理 定理5.8 若　　为　　　的本性奇点，则对任意数 A（可以是　　)，都有一个收敛于a的点列 使 第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点 第一节 解析函数的洛朗展式 第二节 解析函数的孤立奇点 第三节 解析函数在无穷远点的性质 形如 的级数称为双边幂级数 第一节　解析函数的罗朗展式 1 双边幂级数 正则部分是幂级数，故收敛圆 对于主要部分， 可作代换 成为一幂级数 它的收敛区域为 因此当 时，两者有公共的收敛区域即圆环： 在此圆环内有 定理5.1 设双边幂级数 （5.1） 的收敛圆环为 则（1）(5.1)在　内绝对收敛且内闭一 致收敛于 （2）　　　　在　　　内解析 （3） 级数在　　内可逐项求导任意次。 2、解析函数的罗朗展式 定理5.2（罗朗定理） 在圆环内解析的函数必可展开成双边幂级数 （5.2） 其中 (5.3) 且展式唯一. 定义5.1（5.2）称为在点a的罗朗展式， （5.3）称为其罗朗系数，而（5.2）右 边的级数则称为罗朗级数。 注意: 泰勒级数是罗朗级数的特殊情形。 例5.1 将函数 在下列三个区域内 （1）圆 　　　　 （2）圆环 （3）圆环 求　　　的罗朗展式。 （３）在圆环　　　　　　　上 故 3、孤立奇点邻域内的罗朗展式 定义5.2 若　　 在奇点　　的某一去心邻域 内解析，则称　为 的一个孤立奇点。 若　为　　的一个孤立奇点，则必存在数　，使在　　的去心邻域 　内　　可展成罗朗级数。 例5.2 求 在其孤立奇点的去心邻域内的罗朗展式。 解：有两个奇点　　　　和　　　。 在　　　的（最大）去心邻域 内 在　　　的（最大）去心邻域 内 5.2???????解析函数的孤立奇点 １ 孤立奇点的分类 可去奇点、极点、本性奇点。 定义5.3 设　是　　的孤立奇点， （1）若主要部分为0，则称a是的 可去奇点。 （2）若主要部分为有限多项，则称　是　　　的 极点.此时主要部分的系数必满足　　　　　　　　　　　　　 , 此时称 为 极点　阶级点，　　亦称为　　级极点。 （3） 若主要部分有无限多项，则称　　是f(z)　　　　　　　的本性奇点。 2、可去奇点的判断 定理5.3 设　为　　　的孤立奇点，则下述等价： （1）?????? 在　　的主要部分为0； （2）?????? 　（３）　　　在点　的某去心邻域内有界。 证： （1）　　（2）由（1）有 因此 （2）　（3）即例1.27 （3）　（1）考虑主要部分的系数 其中　　　　　 可任意小，故 极点 定理5.4 若　　 以点　为孤立奇点，则下述等价 （1）??????是　　级极点，即主要部分为 （２）?????? 　在点　　的去心邻域内有 　 且　　　解析且 （３） ?????? 　　以　为　　级零点。 定理5.5 　的孤立奇点　为极点的充分必要条件是 * *