0102有限单元法的发展及应用.doc

§1-2 有限单元法的发展及应用 发展 运用固体力学理论(包括结构力学、弹性力学、塑性力学等)对结构进行强度和刚度分析，是工程设计的重要内容之一。随着科学技术的进步和生产的发展，工程结构的几何形状和载荷情况日益复杂，新材料也不断出现，这使得寻找结构分析的解析解十分困难，甚至不可能。因此，人们转向寻求它的近似解。 1908年里兹(W.Ritz)提出一种近似解法，具有重要意义。 里兹法利用带未知量的试探函数将势能泛函近似，对每一个未知量求势能泛函的极小值，得到求解未知量的方程组。 里兹法大大促进了弹性力学在工程中的应用。里兹法的局限是试探函数必须满足边界条件。对于几何形状比较复杂的结构来说，寻找满足整个边界条件的试探函数也非易事。 1943年库兰特(R.Courant)对里兹法作了极重要的推广。 他在求解不规则断面扭转问题时，将整个截面划分成若干个三角形区域，并假设翘曲函数在各个三角形区域内是会标的线性函数，从而克服了以前里兹法要求整个近似函数满足全部边界条件的困难。 库兰特这样应用里兹法与有限单元法的初期思想是一致的。但是这种近似解法要进行大量数值计算，在当时还是个难题。因此，未能得到发展。 在1946年电子计算机诞生以后，首先采用它来进行数值计算的是杆系结构力学。它的理论依据是由结构力学位移法和力法演变成的矩阵位移法和矩阵力法，统称结构矩阵法（实际上也有假设）。 它采用矩阵代数运算，不仅能使算式书写简明，而且编制计算机程序非常方便。结构矩阵法的力学概念清楚，全部理论公式按结构力学观点讲都是准确的。仅在数值运算过程里，由于计算机实数存贮位数有限，造成舍入误差。 1956年特纳(M.J.Turner)、克劳夫(R.W.Clough)、马丁(H.C.Martin)和托普(L.J.Topp)在纽约举行的航空学会年会上介绍一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。 他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。 同期，阿吉里斯(J.H.Argyris)在航空工程杂志上发表一组能量原理和结构分析论文(1954～1955年)，对连续体有限单元法的形成做了开创性工作。 他将弹性结构的基本能量原理做了概括、推广并予以统一，发展了矩阵方法，还导出由平面应力板和四个边缘件组成的矩形板格的单元刚度矩阵。 1960年克劳夫在论文“平面应力分析的有限单元法”中首次提出“有限单元法”这一术语。有限单元法开始成为连续体离散化的一种标准研究方法。 以上可以认为是有限单元法的初期发展阶段。人们是从直观概念出发进行探索，缺乏足够的理论基础，解决实际问题的范围比较窄，而且有时用得并不成功。 大概在1963年前后，经过贝塞林(J.F.Besseling 1963)、梅荣歇(R.J.Melosh 1963)、约内士(R.E.Jones 1964)、格拉菲尔(R.H.Gallagher 1964)卞学鐄(T.H.H.Pian 1964)、维别克(B.Fraeijs de Veubeke 1964)等许多人的工作，认识到有限单元法就是变分原理里兹近似法的一种变态（兹近法：试探函数；有限元法：位移模式），发展了用各种不同变化原理导出的有限单元计算公式。 1965年监凯维奇(O.C.Zienkiewicz)和张佑启(Y.K.Cheung)在求解拉普拉斯和泊松方程时发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用和固体力学有限单元法的同样步骤求解。 然而有限单元法的公式不一定要求建立在变分原理的基础上，1969年斯查白(B.A.Szabo)和李(G.C.Lee)指出可以用加权余量法特别是迦辽金(Galerkin)法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。 经过20 年的努力终于建立起来了完整的有限单元法理论体系。由于人们可以自觉地依据各种变分原理建立有限单元法的算式，各种结构分析用的单元模式纷纷出现。 与此同时，有限单元法的数学基础受到很大重视。 求解大型线性方程组的数值方法和特征值问题的解法得到发展； 子结构技术和模态综合技术得到采用； 有限单元法的收敛性和误差分析也开始得到研究。 随着计算机功能日益增强和有限单元法显示出解决工程实际问题的巨大威力，许多高等学校、研究机构和软件公司得到各工业部门(如航空、宇航、建筑、造船、汽车、石油等)的大量资助，陆续研制出各种通用有限元程序，进一步推动有限单元法的理论研究和实际应用。 到二十世纪八十年代初，国际上较大的结构分析通用有限元程序就发展到几百种，其中著名的有： COSMIC/NASTRAN； MSC/NASTRAN(大型综合有限元软件)； SAP-NONSAP(线性与非线性有限元通用软件)； ADINA(非线性结构分析通用软件)； ANSYS(有限元分