大学数学-课件-第四章矩阵第四节.pptVIP

主要内容 引例 第 四 节 矩阵的逆 逆矩阵的定义 矩阵可逆的条件 可逆矩阵的性质 克拉默法则的另一证法 矩阵乘积的秩的性质 一、引例 二、逆矩阵的定义 1. 可逆的定义 定义 10 n 级方阵 A 称为可逆的，如果有n 级方阵 B，使得 AB = BA = E , (1) 这里 E 是 n 级单位矩阵. 定义 11 如果矩阵 B 适合 (1)，那么就称为 A 的逆矩阵，记为 A-1 . 2. 逆矩阵的唯一性 若方阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一 . 证明 设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则由定义 有 AB = BA = E，AC = CA = E， 于是 B = BE = B( AC ) = ( BA )C = EC = C . 所以逆矩阵唯一. 证毕 三、矩阵可逆的条件 现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆 的？ 如果 A 可逆，怎样求 A-1 ？ 为此先引入伴随 矩阵的概念. 1. 伴随矩阵 定义 12 设 Aij 是矩阵 中元素 aij 的代数余子式，矩阵 称为 A 的伴随矩阵. 由行列式按一行(列)展开的公式立即得出： 其中 d = | A | . 如果 d = | A | ? 0，那么由 (2) 得 (2) (3) 2. 矩阵可逆的充分必要条件 定理 3 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 非 退化，且 证明 当 d = | A | ? 0，由 (3) 可知，A 可逆 且 反过来，如果 A 可逆，那么有 A-1 使 AA-1 = E . 两边取行列式，得 | AA-1 | = | A | | A-1 | = | E | = 1 , 因而 | A | ? 0，即 A 非退化 . 证毕 定理 3 不但给出了一矩阵可逆的条件，同时 也给出了求逆矩阵的公式 (4) ，用公式 (4) 求逆矩 阵的方法叫伴随矩阵法. 下面利用伴随矩阵法求逆阵. 例 １ 用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵 单 击 这 里 开 始 四、可逆矩阵的性质 (2) 设 A, B, Ai (i =1, 2, …, m) 为 n 级可逆方阵， k 为非零常数，则 A-1, kA, AB, A1A2…Am , AT 也都是可逆矩阵，且 (1) (A-1)-1 = A; (3) (AB)-1 = B-1A-1, (A1A2…Am)-1 = Am-1…A2-1A1-1 ; （4） (AT)-1 = (A-1)T ; （5） （6） (Am)-1 = (A-1)m , m 为正整数. 证明 我们只证（３）和（４）. （３） (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 =AEA-1 =AA-1 = E. （４） AT(A-1)T = (A-1A)T = (E)T = E, 所以 (AT)-1 = (A-1)T . 证毕 五、克拉默法则的另一证法 利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种 推导法. 线性方程组 可以写成 AX = B . (6) 如果 | A | ? 0，那么 A 可逆. 用 X = A-1B 代入 (6)，得恒等式 A( A-1B ) = B，这就是说 A-1B 是一解. 如果 X = C 是 (6) 的一个解，那么由 AC = B 得 A-1( AC ) = A-1B ， 即 C = A-1B . 这就是说，解 X = A-1B 是唯一的. 用 A-1 的公式 (4) 代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式. 六、矩阵乘积的秩的性质 联系到可逆矩阵，关于矩阵乘积的秩有： 定理 4 A 是一个 s ? n 矩阵，如果 P 是 s ? s 可逆矩阵，Q 是 n ? n 可逆矩阵，那么 秩( A ) = 秩( PA ) = 秩( AQ ) . 证明 令 B = PA , 由 秩( B ) ? 秩( A )； 但是由 A = P -1B， 又有 秩( A ) ? 秩( B ) . 所以 秩( A ) = 秩( B ) = 秩( PA ) . 另一个式子可以同样地证明. 证毕 例 2 设方阵 A 满足 移项 得 证明 都可逆，并求 解 变形所给的等式，得 分解因式 得 两边取行列式得 由方阵的行列式的性质得 所以 故 可逆. 又因为 由逆矩阵的定义知 现再证 可逆. 变形 得 移项 得 两边取行列式得 在等式 两边左乘 得 再两边右乘 得 所以 可逆. 例 3 设 求