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二次函数的最值 1 二次函数的最值 例1:(2000年全国高中数学联赛试题)若函数f(x)=-x2+在区间[a,b]上的最小值为2a,最大值为2b,求[a,b]. 练习: 1.(2004年全国高中数学联赛河南初赛题)己知二次函数f(x)=ax2+bx+c,满足条件:f(x+)=f(-x),且方程f(x)=7x有两个相等的实根. (I)求f(x)的解析式; (II)是否存在实数m、n(0mn),使f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[,]？如果存在,求出m、n的值;若不存在,请说明理由. 2.(2009年江西高考试题)设函数f(x)=(a0)的定义域为若D,所有点(s,f(t))(s,t∈D)构成一个正方形区域,则a的值为( ) (A)-2 (B)-4 (C)-8 (D)不能确定 例2:(2010年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知函数f(x)=x|x-2a|.试求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值. 练习: 1.(2001年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知二次函数f(x)=4x2-4ax+(a2-2a+2)在0≤x≤1上的最小值为2.求a的值. 2.(1998年希望杯数学邀请赛试题)函数y=sin2x+2asinx-a-2的最大值为u,则u是a的函数,该函数的解析式为 . 3.(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设实数a、m满足:a≤1,0m≤2,函数f(x)=(x∈(0,a)).若存在a、m、x使f(x)≤,求所有的实数x的值. 例3:(2002年全国高中数学联赛试题)使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是 . 练习: 1.(2006年全国高中数学联赛试题)设f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x,则f(x)的值域是 . 2.(2008年全国高中数学联赛试题)设的最小值为,则的最大值为g(a),试求g(a)的最大值. 练习: 1.(2010年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=a2x+3ax-2(a0,a≠1)在区间x∈[-1,1]上的最大值为8,则它在这个区间上的最小值是 . 2.(2010年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)己知≤a≤1.若f(x)=ax2-2x+1在[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a). (I)求g(a)的函数表达式; (II)求证:g(a)≥恒成立. 例5:(1998年全国高中数学联赛试题)设函数f(x)=ax2+8x+3(a0).对于给定的负数a,有一个最大的正数L(a),使得在整个区间[0,L(a)]上,不等式|f(x)|≤5都成立.问:a为何值时L(a)最大？求出这个最大的L(a).证明你的结论. 练习: 1.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)设二次函数f(x)在区间[-1,4]上的最大值为12,且关于x的不等式f(x)0的解集为区间(0,5). (I)求函数f(x)的解析式; (II)若对于任意的x∈R,不等式f(2-2cosx)f(1-cosx-m)恒成立,求实数m的取值范围. 2.(2010年全国高中数学联赛河南初赛试题)设二次函数f(x)=x2+bx+c(b、c∈R)与x轴有交点.若对一切x∈R,有f(x+)≥0,且f()≤1.求b、c的值. 例6:(1999年全国高中数学联赛试题)己知当x∈[0,1]时,不等式x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ0恒成立,试求θ的取值范围. 练习: 1.(1989年全国高中数学联赛试题)S、t取遍所有实数时,则(s+5-3|cost|)2+(s-2|sint|)2所能达到的最小值是 . 2.(1996年全国高中数学联赛试题)求实数a的取值范围,使得对任意实数x和任意θ∈[0,]恒有: (x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥. 二次函数的最值 1 二次函数的最值 例1:(2000年全国高中数学联赛试题)若函数f(x)=-x2+在区间[a,b]上的最小值为2a,最大值为2b,求[a,b]. 解析:①若ab0,则f(x)在[a,b]内单调递增a,b是方程f(x)=2x的两根,f(x)=2xx2+4x-13=0,而该方程无两负根;②若a